Cara Mudah Menyelesaikan Soal Barisan dan Deret Aritmatika&Geometri Pada Soal SBMPTN 2018.

Mengingat Soal Barisan dan Deret selalu keluar mewarnai Soal SBMPTN dari tahun ke tahun, Bukan tidak mungkin pada SBMPTN tahun ini pun akan muncul tipe soal barisan dan deret.
Yuk kita intip seperti apa soal barisan dan deret yang senantiasa muncul tiap tahun ini.

1. Soal SPMB 2004

Jumlah suatu deret aritmatika adalah 20. Suku pertama deret tersebut adalah 8 dan bedanya -2. Jika banyaknya suku deret adalah n, maka n adalah ....
A. 4 atau 5
B. 4 atau 6
C. 4 atau 7
D. 5 atau 6
E. 5 atau 7

Penyelesaian
deret aritmatika dengan
S_n = 20
u₁ = 8
b = -2

Sehingga
S_n = 20
S_n = n/2 (2a + (n - 1)b) = 20
n/2 (2.8 + (n - 1).(-2)) = 20 (kedua ruas dikali 2)
n(-2n + 18) = 40
2n² - 18n + 40 = 0
n² - 9n + 20 = 0
(n - 4)(n - 5) = 0
n = 4 atau n = 5

2. Soal SPMB 2005

Jika suku ke-8 deret aritmatika adalah 20, dan jumlah suku ke-2 dan ke-16 adalah 30, maka suku ke-12 deret tersebut adalah ....
A. 5
B. 2
C. 0
D. – 2
E. – 5

Penyelesaian
deret aritmatika dengan Un = a + (n - 1)b.
      U₈ = 20
a + 7b = 20

    U₂   +   U₁₆        = 30
(a + b) + (a + 15b) = 30
    2a    +   16b        = 30
         a +   8b          = 15
         a + 7b + b      = 15
          20      +  b     = 15
                        b     = -5

U₁₂ = a + 11b
      = a + 7b + 4b
      = 20 + 4(-5)
      = 20 - 20
     = 0

3. Soal SPMB 2006

Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatik adalah S_n=3n²-2n. Jika suku ke-n deret ini adalah u_n, maka u₃ + u₅ =....
A. 20
B. 22
C. 38
D. 42
E. 46

Penyelesaian
S_n = 3n² - 2n
S₁ = U₁ = 3.1² - 2.1 = 1
S₂ = 3.2² - 2.2
U₁ + U₂ = 3.4 - 4
1 + U₂ = 8
U₂ = 7

b = U₂ - U₁ = 7 - 1 = 6

U₃ + U₅ = (a + 2b) + (a + 4b)
= 2a + 6b
= 2.1 + 6.6
= 2 + 36
= 38




Kok sepertinya mudah-mudah ya..., tidak jauh beda dengan soal UN.
Eitssss..., jangan salah!!!
Itu hanya beberapa soal yang sengaja saya ambil yang mudah-mudah saja, tapi yang sulit bin njelimet juga banyak. Misalnya pada soal yang akan saya berikan dibawah ini. Namun intinya kalian harus memahami konsep dasar barisan dan deret baik aritmatika maupun geometri. Sehingga..., bagaimanapun bentuk soal yang akan muncul di tahun 2018 ini, kalian akan tetap bisa mengerjakannya dengan mudah.


Berikut adalah beberapa macam soal Ujian masuk perguruan tinggi negeri mulai dari yang tingkat kesulitannya sedang sampai yang rumit...

6. Soal SPMB 2006

Suku tengah suatu deret aritmatika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka banyak suku deret tersebut adalah ……
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
E. 13

Penyelesaian
u_t = 23
u₃ = 13
u_n = 43

u_t = 23 → a + u_n = 2u_t
a + 43 = 2.23
a = 46 - 43
=3

u₃ = 13 → a + 2b = 13
3 + 2b = 13
2b = 10
b = 5

u_n = 43 → a + (n-1)b = 43
3 + (n-1)(5) = 43
3 + 5n - 5 = 43
5n = 45
n = 9

7. Soal SPMB 2006

Jika log⁡(x²) + log⁡(10x² ) + ⋯ + log⁡(10⁹x² ) = 55, maka x = ….
A. 1/10
B. 1/2
C. 1
D. √10
E. 2√10

Penyelesaian
log⁡(x²) + log⁡(10x²) + ⋯ + log⁡(10⁹ x² ) = 55
log⁡(x² ) (10x² )…(10⁹ x² ) = log⁡ 10⁵⁵
10^(1+2+⋯+9) x²⁰ = 10⁵⁵
10⁴⁵ x²⁰ = 10⁵⁵
x²⁰ = 10¹⁰
x = √10

8. Soal SPMB 2006

Jika suku ke-n suatu deret adalah u_n = 2^(2x-n) , maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah ….
A. 2^(2x-2)
B. 2^(2x-1)
C. 2^2x
D. 2^(2x+1)
E. 2^(2x+2)

Penyelesaian
u_n = 2^(2x-n)
u₁ = 2^(2x-1)
u₂ = 2^(2x-2)

9. Soal SPMB 2006

Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama a mempunyai jumlah 2, maka a memenuhi….
A. -2 < a < 0
B. -4 < a < 0
C. 0 < a < 2
D. 0 < a < 4
E. -4 < a < 4

Penyelesaian
deret geometri tak hingga
suku pertama = a
S_~ = 2

a = 2 - 2r
2r = 2 - a

Agar deret geometri memiliki jumlah, maka:
-1 < r < 1
-2 < 2r < 2
-2 < 2-a < 2
-4 < -a < 0
0 < a < 4

10. Soal SPMB 2004

Pada saat awal diamati 8 virus jenis tertentu, setiap 24 jam masing-masing membelah diri menjadi dua. Jika setiap 96 jam seperempat dari seluruh virus dibunuh, maka banyaknya virus pada hari ke-6 adalah ....
A. 96
B. 128
C. 192
D. 224
E. 256

Penyelesaian
Silahkan dicoba dulu ya, klo ada kesulitan silahkan komentar di kolom bawah

11. Soal SPMB 2007

Suku ke-3 suatu deret aritmatika adalah 11 dan suku terakhirnya 23. Jika suku tengah deretnya adalah 14, maka jumlah semua suku deret adalah
A. 90
B. 98
C. 100
D. 102
E. 110

Penyelesaian
Silahkan dicoba dulu ya, klo ada kesulitan silahkan komentar di kolom bawah

Pembahasan Soal Komposisi FUngsi yang sering keluar pada Soal UN.

Soal 1 - UN Matematika 2012

Diketahui fungsi f(x) = 3x − 1 dan g(x)=2x²-3. Komposisi fungsi (g o f )(x) = ....
A. 9x²-3x+1
B. 9x²-6x+3
C. 9x²-6x+6
D. 18 x²-12x-2
E. 18x²-12x-1

Penyelesaian:
f(x) = 3x − 1 dan g(x)=2x²-3
(g o f )(x) = g( f(x) )
= g(3x - 1)
= 2(3x - 1)² - 3
= 2(9x² - 6x + 1) - 3
= 18x² - 12x - 1

Soal 1 - UN Matematika 2012

Diketahui fungsi f(x) = x + 3 dan g(x) = x²-2x-1. Komposisi fungsi (fog)(x) = ....
A. x²-2x+2
B. x²+2x-2
C. x²+4x+2
D. x²-4x+2
E. x²-4x-2

Penyelesaian:
f(x) = x + 3 dan g(x) = x²-2x-1
= f( g(x) )
= f(x²-2x-1)
= x²-2x-1 + 3
= x²-2x+2

Soal 1 - UN Matematika 2012

Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x²-2x+8. Komposisi fungsi (gof)(x) = ....
A. 4x²+7
B. (4x)²-7
C. (2x)²+4x-17
D. 2x²-4x+17
E. 2x²-4x-17

Penyelesaian:
f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x²-2x+8
(g o f )(x) = g( f(x) )
= g(2x + 1)
= (2x + 1)² - 2(2x + 1) + 8
= (4x² + 4x + 1) - 4x - 2 + 8
= 4x² + 7




Kumpulan Soal UN SMA 2012.

Pada kesempatan kali ini saya ingin membahas soal UN matematika khusus soal-soal yang berbentuk persamaan kuadrat.


Berikut adalah bentuk-bentuk soal persamaan kuadrat yang sering muncul pada soal UN Matematika

Soal 1 - Soal UN Matematika SMA 2012

Persamaan kuadrat 2x² – (2p + 4)x + 5p – 2 = 0 mempunyai akar-akar nyata dan berlainan. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah ....
A. p ≤ 2 atau p ≥ 4
B. p < 2 atau p > 4
C. p ≤ -4 atau p ≥ -2
D. 2 ≤ x ≤ 4
E. 2 < p < 4

Pembahasan:
Persamaan Kuadrat yang mempunyai akar-akar nyata dan berlainan mempunyai syarat:
D > 0.

Sehingga.....
D > 0
b² - 4ac > 0
(–(2p + 4))² - 4.2.(5p - 2) > 0
4p² + 16p + 16 - 40p + 16 > 0
4p² - 24p + 32 > 0
p² - 6p + 8 > 0
(p - 2)(p - 4) > 0
p < 2 atau p > 4

Soal 2 - Soal UN Matematika SMA 2012

Persamaan kuadrat x² + (m-2)x + (2m+8) = 0 mempunyai dua akar nyata dan berbeda. Batas-batas nilai m yang memenuhi adalah ....
A. -2 < m < 14
B. -2 ≤ m ≤ 14
C. m > 14 atau m < -2
D. m ≥ 14 atau m ≤ -2
E. m > 2 atau m < -14

Pembahasan:
Bentuk soal ke-2 ini serupa dengan soal pertama.
Persamaan Kuadrat yang mempunyai akar-akar nyata dan berbeda mempunyai syarat: D > 0.
D > 0
b² - 4ac > 0
(m-2)² - 4.1.(2m + 8) > 0
m² - 4m + 4 - 8m - 32 > 0
m² - 12m - 28 > 0
(m + 2)(m - 14) > 0
m > 14 atau m < -2

Pembahasan soal 3 - Soal UN Matematika SMA 2012

Persamaan kuadrat x² + (m-2)x + 2m - 4 = 0 mempunyai akar-akar real, maka batas nilai m yang memenuhi adalah ....
A. m ≤ 2 atau m ≥ 10
B. m ≤ −10 atau m ≥ −2
C. m < 2 atau m > 10
D. 2 < m < 10
E. −10 < m ≤ −2

Pembahasan:
Persamaan Kuadrat yang mempunyai akar-akar real mempunyai syarat: D ≥ 0.
D ≥ 0
b² - 4ac ≥ 0
(m-2)² - 4.1.(2m - 4) ≥ 0
m² - 4m + 4 - 8m + 16 ≥ 0
m² - 12m + 20 ≥ 0
(m - 2)(m - 10)≥ 0
m ≤ 2 atau m ≥ 10

a. Menentukan Persentase Untung atau Rugi

Pada postingan sebelumnya, kita telah mempelajari persen.
Ingat... Persen artinya per seratus.
Persen ditulis dalam bentuk p% dengan p bilangan real.
Dalam perdagangan, besar untung atau rugi terhadap harga pembelian biasanya dinyatakan dalam bentuk persen.



Rumus di atas dapat diterapkan pada contoh soal berikut.

Contoh Soal 1:

Seorang pedagang membeli 1 kuintal beras dengan harga Rp6.000,00 per kg. Pedagang itu menjual beras tersebut dan memperoleh uang sebanyak Rp620.000,00. Tentukan persentase untung atau rugi pedagang itu.

Penyelesaian:
Harga pembelian = 100 × Rp6.000,00 = Rp600.000,00
Harga penjualan = Rp620.000,00
Harga penjualan lebih dari harga pembelian maka pedagang itu mengalami untung.

Untung = Rp620.000,00 – Rp600.000,00 = Rp20.000,00
Persentase keuntungan pedagang itu adalah

b. Menentukan harga penjualan dan harga pembelian jika persentase untung atau rugi diketahui

Jika persentase untung atau rugi diketahui, kita dapat menghitung harga beli atau harga jualnya.




Catatan:
Dalam bentuk persen, harga beli dapat dianggap sebagai modal = 100%.

Contoh Soal

Seorang pedagang menjual suatu barang dengan harga Rp210.000,00 dan mendapat untung 5% dari harga beli.
Tentukan har ga beli barang tersebut.

Penyelesaian:
Harga penjualan = harga pembelian + untung
Rp210.000,00 = harga pembelian + 5% harga pembelian
Harga pembelian = 100% harga pembelian + 5% harga pembelian
= (100% + 5%) harga pembelian
= 105% harga pembelian

ARITMETIKA SOSIAL DALAM KEGIATAN EKONOMI

Pernahkah kalian membeli barang/snack di pasar atau di sebuah toko besar? Di pasar atau toko besar, biasanya barang dijual dalam jumlah banyak (grosir). Harga barang yang dijual dalam jumlah banyak biasanya lebih rendah atau lebih murah daripada jika dijual secara eceran. Bandingkan jika kalian membeli barang dalam jumlah banyak di pasar dengan membeli secara eceran di toko dekat rumahmu.

1 . Menghitung Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, dan Nilai Sebagian

Seorang pemilik toko menjual satu kotak penghapus karet dengan harga Rp9.600,00. Ternyata, dalam satu kotak terdapat 12 buah penghapus karet. Seseorang membeli sebuah penghapus karet dan pemilik toko menjualnya dengan harga Rp800,00. Dalam hal ini, harga satu kotak penghapus karet = Rp9.600,00 disebut nilai keseluruhan, sedangkan harga satu buah penghapus karet = Rp800,00 disebut nilai per unit.

Contoh Soal:
Seorang pedagang buah membeli 12 buah durian. Ia membayar dengan 3 lembar uang seratus ribuan dan mendapat uang kembalian sebesar Rp30.000,00.
a. Tentukan harga pembelian seluruhnya.
b. Tentukan harga pembelian tiap buah.
c. Jika pedagang tersebut hanya membeli 8 buah durian, berapakah ia harus membayar?

Penyelesaian:
a. Harga pembelian = 3 × Rp100.000,00 – Rp30.000,00
                                = Rp300.000,00 – Rp30.000,00
                                = Rp270.000,00
Jadi, harga pembelian seluruhnya adalah Rp270.000,00.

b. Harga durian per buah
                = Rp270.000,00/12
                = Rp22.500,00
Jadi, harga tiap buah durian itu adalah Rp22.500,00.

c. Harga 8 buah = 8 × Rp22.500,00
                          = Rp180.000,00
Jadi, harga 8 buah durian adalah Rp180.000,00.

2. Harga Pembelian, Harga Penjualan, Untung, dan Rugi

Pak Samsul membeli televisi dengan harga Rp1.750.000,00. Sebulan kemudian televisi tersebut dijual dengan harga Rp1.900.000,00. Dalam hal ini, Pak Samsul mengalami untung Rp150.000,00. Jika Pak Samsul hanya mampu menjual dengan harga Rp1.650.000,00, dikatakan Pak Samsul mengalami rugi Rp100.000,00.

Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Harga beli adalah harga barang dari pabrik, grosir , atau tempat lainnya. Harga beli sering disebut modal. Dalam situasi tertentu, modal adalah harga beli ditambah dengan ongkos atau biaya lainnya.
Harga jual adalah harga barang yang ditetapkan oleh pedagang kepada pembeli.
Untung atau laba adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan lebih dari harga pembelian.

Rugi adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan kurang dari harga pembelian.

Contoh Soal
Seorang pedagang membeli jeruk sebanyak 40 kg dengan harga Rp6.500,00 per kg. Kemudian 30 kg di antaranya dijual dengan harga Rp7.000,00 per kg, dan sisanya dijual dengan harga Rp6.000,00 per kg.
Hitunglah
a. harga pembelian;
b. harga penjualan;
c. besarnya untung atau rugi dari hasil penjualan tersebut.

Penyelesaian:
a . Harga pembelian = 40 × Rp6.500,00
                                 = Rp260.000,00
Jadi, harga pembelian jeruk adalah Rp260.000,00.

b. Harga penjualan = (30 × Rp7.000,00) + (10 × Rp6.000,00)
                               = Rp210.000,00 + Rp60.000,00
                               = Rp270.000,00
Jadi, harga penjualannya adalah Rp270.000,00.

c. Karena harga penjualan lebih dari harga pembelian, maka pedagang tersebut mengalami untung.
Untung = harga penjualan – harga pembelian
             = Rp270.000,00 – Rp260.000,00
             = Rp10.000,00
Jadi, besarnya keuntungan yang diperoleh pedagang tersebut adalah Rp10.000,00.



Sumber : Bse smp, Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA YANG BERKAITAN DENGAN PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL


Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita.
Untuk menyelesaikannya, buatlah terlebih dahulu model matematika berdasarkan soal cerita tersebut. Kemudian, selesaikanlah.
Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh berikut.

Contoh 1

Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m², tentukan luas tanah petani tersebut.

Penyelesaian:
Misalkan panjang tanah = x maka lebar tanah = x – 6.
Model matematika dari soal di samping adalah p = x dan l = x – 6, sehingga
K = 2(p + l)
60 = 2( x + x – 6)

Penyelesaian model matematika di atas sebagai berikut.
     K  = 2(p + l)
⇔ 60 = 2(x + x – 6)
⇔ 60 = 2(2x – 6)
⇔ 60 = 4x – 12
⇔ 60 + 12 = 4x – 12 + 12
⇔ 72 = 4x
⇔ 72/4 = 4x/4
⇔ 18 = x

Luas = p.l
         = x(x – 6)
         = 18(18 – 6)
         = 18.12
         = 216
Jadi, luas tanah petani tersebut adalah 216 m²

Contoh 2

Diketahui harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal. Seorang pedagang membeli 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal. Pedagang tersebut harus membayar Rp275.000,00.
a. Buatlah model matematika dari keterangan di atas.
b. Selesaikanlah model matematika tersebut. Kemudian, tentukan harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal.

Penyelesaian:
a. Misalkan harga sepasang sepatu = x dan harga sepasang sandal = y. Model matematika berdasarkan keterangan di atas adalah x = 2y dan 4x + 3y = 275.000.
b. Dari model matematika diketahui x = 2y dan 4x + 3y = 275.000. Digunakan motode substitusi, sehingga diperoleh
     4x + 3y = 275.000
⇔ 4(2y) + 3y = 275.000
⇔ 8y + 3y = 275.000
⇔ 11y = 275.000
⇔ y = 25.000

Karena x = 2y dan y = 25.000, maka
            x = 2(25.000)
            x = 50.000
Jadi, harga sepasang sepatu adalah Rp50.000,00 dan harga sepasang sandal Rp25.000,00.
Harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal dapat ditulis sebagai 3x + 5y, sehingga
3x + 5y = (3 × 50.000) + (5 × 25.000)
             = 150.000 + 125.000
             = 275.000
Jadi, harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal adalah Rp275.000,00.

MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA YANG BERKAITAN DENGAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

1. Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan ukuran panjang (x + 5) cm, lebar ( x – 2) cm, dan tinggi x cm.
a. Tentukan model matematika dari persamaan panjang kawat yang diperlukan dalam x.
b. Jika panjang kawat yang digunakan seluruhnya tidak lebih 124 dari 132 cm, tentukan ukuran maksimum balok tersebut.

Penyelesaian:
a. Misalkan panjang kawat yang diperlukan = K, maka model matematikanya sebagai berikut.
K = 4p + 4l + 4t
= 4( x + 5) + 4( x – 2) + 4x
= 4x + 20 + 4 x – 8 + 4x
= 12x + 12

b. Panjang kawat tidak lebih dari 132 cm dapat ditulis K = 12x + 12 ≤ 132 cm, sehingga diperoleh
12x + 12 ≤ 132
12x + 12 – 12 ≤ 132 – 12
12x ≤ 120
12x/12 ≤ 120/12
x ≤ 10

Nilai maksimum x = 10 cm, sehingga diperoleh
p = (x + 5) cm = 15 cm
l = (x – 2) cm = 8 cm
t = x = 10 cm.
Jadi, ukuran maksimum balok adalah (15 × 8 × 10) cm.


2. Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang dengan panjang 16x cm dan lebar 10x cm. Jika luasnya tidak kurang dari 40 dm, tentukan ukuran minimum permukaan meja tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui panjang permukaan meja (p) = 16x, lebar (l) = 10x, dan luas = L.
Model matematika dari luas persegi panjang adalah
L
= p × l
= 16x × 10x
= 160x²


Luas tidak kurang dari 40 dm2 = 4.000 cm dapat ditulis
L = 160x² ≥ 4.000, sehingga diperoleh
160² ≥ 4.000
x² ≥ 25
x ≥ 5

Nilai minimum x = 5 cm, sehingga diperoleh
p = 16x cm = 16 × 5 cm = 80 cm
l = 10x cm = 10 × 5 cm = 50 cm.
Jadi, ukuran minimum permukaan meja tersebut adalah (80 × 50) cm.

Pada bagian depan telah kalian pelajari cara menyelesaikan persamaan linear satu variabel, salah satunya dengan substitusi (penggantian). Hal ini juga berlaku pada pertidaksamaan linear satu variabel.

Perhatikan pertidaksamaan 10 – 3x > 2, dengan x variabel pada himpunan bilangan asli.

Jika x diganti 1 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(1) > 2 ⇔ 7 > 2 (pernyataan benar)	Jika x diganti 2 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(2) > 2 ⇔ 10 – 6 > 2 ⇔ 4 > 2 (pernyataan benar)
Jika x diganti 3 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(3) > 2 ⇔ 10 – 9 > 2 ⇔ 1 > 2 (pernyataan salah)	Jika x diganti 4 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(4) > 2 ⇔ 10 – 12 > 2 ⇔ –2 > 2 (pernyataan salah)

Ternyata untuk x = 1 dan x = 2, pertidaksamaan 10 – 3x > 2 menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian dari 10 – 3x > 2 adalah {1, 2}.

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Contoh Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x – 2 > 3x + 5 dengan x variabel pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian:
Cara 1
Dengan mengganti tanda “>” dengan “=” diperoleh persamaan 4x – 2 = 3 x + 5.
Dengan cara menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh penyelesaiannya adalah x = 7. Selanjutnya ambillah satu bilangan cacah yang kurang dari 7 dan lebih dari 7.
Periksalah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4x – 2 > 3 x + 5.
Jika x diganti 6 maka
4x – 2 > 3 x + 5
4(6) – 2 > 3(6) + 5
24 – 2 > 18 + 5
22 > 23 (bernilai salah)

Jika x diganti 8 maka
4x – 2 > 3 x + 5
4(8) – 2 > 3(8) + 5
32 – 2 > 24 + 5
30 > 29 (bernilai benar)
Karena nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari 7, maka himpunan penyelesaian dari 4x – 2 > 3x + 5 adalah {8, 9, 10, ...}.


Cara 2
4x – 2 > 3x + 5
4x – 2 + 2 > 3x + 5 + 2 (kedua ruas ditambah 2)
4x > 3x + 7
4x + (–3 x) > 3x + (–3x) + 7 (kedua ruas ditambah –3x)
x > 7
Karena x variabel pada himpunan bilangan cacah maka himpunan penyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.


Cara 3
4x – 2 > 3x + 5
4x – 2 – 5 > 3x + 5 – 5 (kedua ruas dikurangi 5)
4x – 7 > 3x
4x + (–4x) – 7 > 3x + (–4x) (kedua ruas ditambah –4x)
–7 > – x
–7 : (–1) < –x : (–1) (kedua ruas di bagi dengan –1 tetapi tanda ketidaksamaan berubah menjadi <) 7 < x atau x > 7
Karena x anggota bilangan cacah maka himpunan penyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.


Berdasarkan contoh di atas, untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel, dapat dilakukan dalam dua cara sebagai berikut.
a. Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidaksamaan dengan tanda “=”.
b. Menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen.

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.
Suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen dengan cara sebagai berikut.
a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.
b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.
c. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, tetapi tanda ketidaksamaan berubah, dimana
1) > menjadi <; 3) < menjadi >;
2) ≥ menjadi ≤; 4) ≤ menjadi ≥.

PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

Dalam kehidupan sehari-hari, adik-adik pasti pernah atau bahkan sering menjumpai kalimat-kalimat seperti berikut.
a. Tinggi badan Ani lebih dari 152 cm.
b. Berat badan Amri 2 kg kurang dari berat badanku.
c. Salah satu syarat menjadi anggota TNI adalah tinggi badannya tidak kurang dari 165 cm.
d. Sebuah bus dapat mengangkut tidak lebih dari 59 orang.

Bagaimana menyatakan kalimat-kalimat tersebut dalam bentuk kalimat matematika? Untuk dapat menjawabnya pelajari uraian berikut.

1. Pengertian Ketidaksamaan

Agar kalian memahami pengertian ketidaksamaan, coba ingat kembali materi di sekolah dasar mengenai penulisan notasi >, <, ≥, dan ≤.
a. 3 kurang dari 5 ditulis 3 < 5.
b. 8 lebih dari 4 ditulis 8 > 4.
c. x tidak lebih dari 9 ditulis x ≤ 9.
d. Dua kali y tidak kurang dari 16 ditulis 2y ≥ 16.
Kalimat-kalimat 3 < 5, 8 > 4, x ≤ 9, dan 2y ≥ 16 disebut ketidaksamaan atau pertidaksamaan.
Dengan kata lain,
Pertidaksamaan adalah Kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ketidaksamaan (<, >, ≥, dan ≤).

2 . Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pada postingan sebelumnya, kita telah mempelajari bahwa suatu persamaan selalu ditandai dengan tanda hubung “=”. Pada bagian ini kalian akan mempelajari ciri suatu pertidaksamaan.
Pada postingan yang lalu juga telah dijelaskan bahwa Persamaan linier satu Variabel hanya memiliki satu variabel berpangkat satu, maka demikian juga dengan Pertidaksamaan linear satu variabel. Yang membedakan adalah tanda hubung yang dimilikinya.


Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.
Suatu ketidaksamaan selalu ditandai dengan salah satu tanda hubung berikut.
“<” untuk menyatakan kurang dari.
“>” untuk menyatakan lebih dari.
“≤” untuk menyatakan tidak lebih dari atau kurang dari atau sama dengan.
“≥” untuk menyatakan tidak kurang dari atau lebih dari atau sama dengan.

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, Pertidaksamaan selalu ditandai dengan notasi >, <, ≥, dan ≤. dengan kata lain

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu variabel dan berpangkat satu (linear).


Contoh:
Dari bentuk-bentuk berikut, tentukan yang merupakan pertidaksamaan linear dengan satu variabel.
a. x – 2 > 5
b. a ≤ 7 – 2b
c. y² – 4y ≥ 3

Penyelesaian:
a. x – 3 > 5
Pertidaksamaan x – 3 > 5 mempunyai satu variabel, yaitu x dan berpangkat 1, sehingga x – 3 > 5 merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.

b. a ≤ 7 – 2b
Pertidaksamaan a ≤ 7 – 2b mempunyai dua variabel, yaitu a dan b yang masing-masing berpangkat 1. Dengan demikian a ≤ 7 – 2b bukan suatu pertidaksamaan linear satu variabel.

c. y² – 4y ≥ 3
Karena pertidaksamaan y² – 4y ≥ 3 mempunyai variabel y dan y², maka y² – 4y ≥ 3 bukan merupakan
pertidaksamaan linear satu variabel.

3. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Pertidaksamaan selalu ditandai dengan notasi >, <, ≥, dan ≤. Masing-masing tanda hubung ini memiliki grafik yangg berbeda.

Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel Bentuk Pecahan


Dalam menentukan penyelesaian persamaan linear satu variabel bentuk pecahan, caranya hampir sama dengan menyelesaikan operasi bentuk pecahan aljabar. Agar tidak memuat pecahan, kalikan kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penyebutnya, kemudian selesaikan persamaan linear satu variabel.

Contoh Soal 1

Tentukan penyelesaian dari persamaan

jika x variabel pada himpunan bilangan rasional.

Penyelesaian:

	(kedua ruas dikalikan KPK dari 2 dan 5, yaitu 10)
2x – 20 + 20 = 5x – 5 + 20 2x = 5x + 15 2x – 5 x = 5x + 15 – 5 x –3x = 15 (–3x) : (–3) = 15 : (–3) x = –5	(kedua ruas ditambah 20) (kedua ruas dikurangi 5x) (kedua ruas dibagi –3)

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan adalah {–5}.

Contoh Soal 2

Tentukan penyelesaian dari persamaan

jika x variabel pada himpunan bilangan rasional.

Penyelesaian:

	(kedua ruas dikalikan KPK dari 2 dan 3, yaitu 6)
2x + 4 – 4 = 6x + 3 – 4 2x = 6x – 1 2x – 6x = 6x – 1 – 6x –4x = –1 (–4x) : (–4) = (–1) : (–4) x = 1/4 = 0,25	(kedua ruas dikurangi 4) (kedua ruas dikurangi 6x) (kedua ruas dibagi –4)

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan adalah {0,25}.

Pengertian Persamaan dan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel.

Adik-adik pasti sering mendengar istilah Persamaan Linear Satu Variabel, kira-kira menurut adik-adik Persamaan Linear Satu Variabel itu apa sih??? (Pastinya bukan nama makanan yang di jual di toko Pizza ya, hehehe...)

Persamaan adalah Kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=). Persamaan dengan satu variabel berpangkat satu atau berderajat satu disebut persamaan linear satu variabel, yang sering disingkat dengan PLSV.


Perhatikan kalimat terbuka pada persamaan x + 2 = 5.
Jika x pada persamaan x + 2 = 5 diganti dengan x = 3 maka persamaan tersebut bernilai benar. Adapun jika x diganti bilangan selain 3 maka persamaan x + 2 = 5 bernilai salah. Dalam hal ini, nilai x = 3 disebut penyelesaian dari persamaan linear x + 2 = 5.
Selanjutnya, himpunan penyelesaian dari persamaan x + 2 = 5 adalah {3}.

Pengganti variabel x yang mengakibatkan persamaan bernilai benar disebut penyelesaian persamaan linear. Himpunan semua penyelesaian persamaan linear disebut himpunan penyelesaian persamaan linear.



Persamaan linear satu variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax = b atau ax + b = c dimana a, b dan c adalah konstanta, dengan a ≠ 0 dan x merupakan variabel pada suatu himpunan.

Dari persamaan berikut, tentukan mana saja yang merupakan persamaan linear satu variabel.
a. 2x – 1 = 7
b. x² – x = 5
c. ½x = 3
d. 2x + 3y = 6
e. 3y + 2 = 5

Penyelesaian:
a. 2x – 1 = 7
Variabel pada 2x – 1 = 7 adalah x dan berpangkat 1, sehingga persamaan 2x – 1 = 7 merupakan persamaan
linear satu variabel.

b. x² – x = 5
Variabel pada persamaan x² – x = 5 adalah x dan x², sehingga variabelnya berpangkat 1 dan 2. Karena terdapat x berpangkat 2 maka persamaan x² – x = 5 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.

c. ½x = 3
Karena variabel pada persamaan ½x = 3 berpangkat 1, maka ½x = 3 merupakan persamaan linear satu variabel.

d. 2x + 3y = 6
Variabel pada persamaan 2x + 3y = 6 ada dua, yaitu x dan y, sehingga 2x + 3y = 6 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.

e. 3y + 2 = 5
Variabel pada 3y + 2 = 5 adalah y dan berpangkat 1, sehingga persamaan 3y + 2 = 5 merupakan persamaan linear satu variabel.


Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x + 3 = 5, jika x variabel pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian:

PEMBAHASAN CONTOH 1
Cara 1	Cara 2
x + 3 = 5 Jika x diganti/diSubtitusi bilangan cacah, diperoleh: jika x = 0, maka 0 + 3 = 5 (kal. salah) jika x = 1, maka 1 + 3 = 5 (kal. salah) jika x = 2, maka 2 + 3 = 5 (kal. benar) Ternyata untuk x = 2, persamaan x + 3 = 5 menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x + 3 = 5 adalah {2}.	x + 3       = 5 ⇔ x + 3 – 3 = 5 – 3 ⇔            x  =  2 Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah { 2 }.

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5 jika x variabel pada himpunan bilangan bulat.

Penyelesaian:
     4x – 3 = 3x + 5
⇔ 4x – 3 + 3 = 3x + 5 + 3 (kedua ruas ditambah 3)
⇔     4x         = 3x + 8
⇔     4x – 3x = 3x – 3x + 8 (kedua ruas dikurangi 3x)
⇔            x    = 8
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5 adalah x = {8}.

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut.
1. 3x+1 = 4; x∈B ( B bilangan bulat )
2. 2y+5 = –3y+7; y∈Q ( Q bilangan rasional )

Penyelesaian :

PEMBAHASAN CONTOH 3
1. 3x + 1 = 4	2. 2y + 5 = –3y + 7
⇔ 3x + 1 – 1 = 4 – 1 ⇔           3x   = 3 ⇔     1/3.  3x = 3. 1/3 ⇔               x = 1 Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah { 1 }.	⇔ 2y + 5 – 5 = –3y + 7 – 5 ⇔          2y    = –3y + 2 ⇔     2y + 3y = 2 ⇔           5y   = 2 ⇔   1/5.  5y   = 1/5. 2 ⇔               y = 2/5 sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2/5}.

1. Fungsi Eksponen

Bentuk aⁿ disebuat sebagai bentuk eksponensial atau perpangkatan, dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat. Sifat – sifat yang berlaku dalam bilangan berpangkat rasional diantaranya adalah sebagai berikut :




Perhatikan contoh soal berikut :
Hitunglah hasil perpangkatan (0,008)^–2
jawab :
(0,008)^–2 = (1/125)^–2
= (1/5³)^–2
= (5^–3)^–2
= 5⁶ = 15.625

2. Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah suatu persamaan yang pangkatnya (eksponen), bilangan pokoknya, atau bilangan pokok dan eksponennya memuat suatu variabel.

Bentuk-bentuk persamaan eksponen yang akan kita bahas yaitu

a. Bentuk persamaan a^f(x) = 1

Misal terdapat persamaan a^f(x) = 1 dengan a>0 dan a≠1, untuk menentukan himpunan penyelesaian bentuk persamaan tersebut gunakan sifat bahwa :

a^f(x) = 1 ⇔ f(x)=0

b. Bentuk persamaan a^f(x) = a^p

Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = a^p, dengan a>0 dan a≠1. Himpunan penyelesaian bentuk persamaan eksponen diatas ditentukan dengan cara menyamakan pangkat ruas kiri dengan ruas kanan.

a^f(x) = a^p ⇔ f(x) = p

c. Bentuk persamaan a^f(x) = a^g(x)

Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = a^g(x) dengan a>0 dan a≠1. Himpunan penyelesaian persamaan diatas dapat ditentukan dengan cara menyamakan persamaan pangkatnya. Jadi dapat kita katakan sebagai berikut :

a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x)

d. Bentuk Persamaan a^f(x) = b^f(x)

Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = b^f(x), dengan a≠b ;a,b >0 ; a,b ≠1. Himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut dapat ditentukan dengan cara menyamakan f(x) dengan nol. Jadi dapat disimpulkan sebagai berikut :

a^f(x) = b^f(x) ⇔ f(x) = 0

e. Bentuk persamaan a^f(x) = b^g(x)

Misalkan diberikan persamaan a^f(x) = b^g(x) dengan a≤b ; a,b >0 ; a,b ≠1, dan f(x) ≠ g(x). Himpunan penyelesaian untuk bentuk persamaan eksponen tersebut dengan melogaritmakan kedua ruas, yaitu :

log a^f(x) = log b^g(x)

f. Bentuk Persamaan A{a^f(x)}² + B{a^f(x)}+ C = 0

Untuk menentukan penyelesaian persamaan eksponen yang berbentuk persamaan kuadrat dapat dikerjakan dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna atau rumus abc.

g. Bntuk persamaan f(x)^g(x) = 1 ; f(x)≠g(x)

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen dengan bentuk tersebut, lakukanlah langkah-langkah berikut :
1). g(x)=0 karena ruas kanan nilainya 1 berarti g(x) harus sama dengan nol.
2). f(x)=1 karena jika f(x)=1 maka bilangan 1 dipangkatkan berapapun nilainya 1.
3). f(x)=-1, dengan syarat g(x) harus genap.

h. Bentuk persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x)

Untuk nilai g(x) ≠ h(x). Himpunan penyelesaian bentuk eksponen tersebut diperoleh dari empat kemungkinan berikut :
1). g(x)=h(x) karena bilangan pokok sudah sama maka pangkatnya harus sama.
2). f(x)=1 karena g9x) ≠ h(x) maka bilangan pokok harus bernilai 1 (satu) agar persamaan bernilai benar.
3). f(x)=-1, bewrakibat g(x) dan h(x) harus sama-sama bernilai genap atau sama-sama bernilai ganjil.
4). f(x)=0, dengan g(x) dan h(x) masing-masing bernilai positif dituliskan g(x)>0 atau h(x)>0.

i. Bnetuk persamaan g(x)^f(x) = h(x)^f(x)

persamaan diatas akan bernilai benar jika
a. f(x)=0 untuk g(x)≠0 dan h(x)≠0 ;
b. g(x)=h(x)

3. Fungsi Logaritma

Bentuk eksponen atau perpangkatan dapat kita tulis dalam bentuk logaritma. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut :

Jika ab = c dengan a > 0 dan a ≠ 1 maka alog c = b dalam hal ini a disebut basis atau pokok logaritma dan c merupakan bilangan yang dilogaritmakan. Logaritma memuliki sifat-sifat sebagai berikut :

sifat log

3.1 Bentuk umum dari fungsi logaritma yaitu Jika ay = x dengan a ≥0 dan a ≠ 1 maka y =alog x

mempunyai sifat-sifat :

semua x > 0 terdefinisi
jika x mendekati no maka nilai y besar sekali dan positif
untuk x=1 maka y=o
untuk x > 1 maka y negatif sehingga jika nilai x semakin besar maka nilai y semakin kecil.


3.2. Grafik Fungsi y =alog x untuk a >0

mempunyai sifat – sifat sebagai berikut :

untuk semua x > 0 terdefinisi
jika x mendekati no maka y kecil sekali dan negatif
untuk x=1 maka y=0
untuk x > 1 maka y positif sehingga jika x semakin besar maka y semakin besar.
Berikut ini gambar grafiknya :

grafik eksponen














Itulah penjelasan tentang Materi Lengkap Fungsi Eksponen dan Logaritma semoga dapat bermanfaat, dan jangan lupa baca juga materi yang lain seperti Operasi Hitung Pada Pecahan atau Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima.

Trik Mudah Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk Persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x) - Pada postingan sebelumnya kita telah mempelajari macam-macam bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1, bentuk a^f(x) = a^p, bentuk a^f(x) = a^g(x) dan bentuk a^f(x) = b^f(x).

Postingan kali ini masih seputar cara menyelesaikan Persamaan Eksponen. Sengaja saya bahas secara terpisah, agar adik-adik dapat lebih mudah memahami perbedaannya.
Jika kemarin adik-adik sudah memahami cara menyelesaikan persamaan eksponen f(x)^g(x) = 1 ; dengan f(x)≠g(x) . Kali ini kita akan mempelajari cara menyelesaikan persamaan eksponen yang berbentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x).
Bagaimana ya caranya???
Kok kelihatannya Tambah Rumit... Tambah Sulit... Bin Njelimet ya...??
Upssss..., Jangan khawatir adek-adek pasti bisa kok, yang penting adek-adek rajin mencoba dan latihan. Klo cuma baca dan melihat saja, ya pasti bakalan terasa susah. Percaya dehhh, kalian pasti BISA!!


Nahhhh... kita mulai saja ya. Simak baik-baik penjelasan berikut ini. Dannnn.... seperti biasa, jangan lupa bawa pensil dan kertas untuk mencoba setiap soal yang akan kakak bahas berikut. Karena dengan membaca dan melihat saja tidak akan membuat kalian jadi memahami materi ini.
Oke... SIMAK YA!!



Yang perlu diIngat!!!




Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen x^{6x – x2} = x^4x.

Penyelesaian:
     x^{6x – x2}    = x^4x

Kita analisa bentuk persamaan eksponennya terlebih dahulu. Dari persamaan diketahui bahwa:
f(x) = x
g(x) = 6x – x²
h(x) = 4x

PEMBAHASAN CONTOH 1
1.	g(x) = h(x)
	6x – x2 = 4x x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 0 dan x = 2	Untuk x = 0, pangkat di ruas kiri yaitu g(x) dan pangkat diruas kanan yaitu h(x) akan bernilai 0, sehingga x = 0 bukan penyelesaian
2.	f(x) = 1
	x = 1
3.	f(x) = –1	syarat g(x) dan h(x) harus sama-sama genap atau ganjil
	x = –1	Untuk x = –1, nilai g(x) = 6x – x2 = 6(–1) – (–1)2 = –7 (ganjil) dan h(x) = 4x = 4(–1) = –4 (genap). karena g(x) dan h(x) tidak sama-sama genap atau sama-sama ganjil maka x = –1 bukan penyelesaian
4.	f(x) = 0	syarat g(x)>0 dan h(x)>0
	x = 0	Untuk x = 0, nilai g(x) = 6x – x2 = 6(0) – (0)2 = 0, maka x = 0 bukan penyelesaian

Jadi penyelesaian dari persamaan x^{6x – x2}    = x^4x adalah x = 1 dan x = 2.

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen (x – 2)^{x2 + 3x} = (x – 2)^{2x + 6}.

Penyelesaian:
Kita analisa bentuk persamaan eksponennya terlebih dahulu.
Persamaan (x – 2)^{x2 + 3x} = (x – 2)^{2x + 6} merupakan persamaan eksponen bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x) dengan :
f(x) = x – 2
g(x) = x² + 3x
h(x) = 2x + 6

PEMBAHASAN CONTOH 2
1.	g(x) = h(x)
	x2 + 3x = 2x + 6 x2 + x – 6 = 0 (x + 3)(x – 2) = 0 x = – 3 dan x = 2
2.	f(x) = 1
	x – 2 = 1         x = 3
3.	f(x) = –1	syarat g(x) dan h(x) harus sama-sama genap atau ganjil
	x – 2 = –1        x = –1 + 2        x = 1	Untuk x = 1, nilai g(x) = x2 + 3x = (1)2 + 3(1) = 4 (genap) dan h(x) = 2x + 6 = 2(1) + 6 = 8 (genap). karena g(x) dan h(x) sama-sama genap maka x = 1 merupakan penyelesaian
4.	f(x) = 0	syarat g(x)>0 dan h(x)>0
	x – 2 = 0         x = 2	Untuk x = 2, nilai g(x) = x2 + 3x = (2)2 + 3(2) = 4 + 6 = 10 dan h(x) = 2x + 6 = 2(2) + 6 = 10, maka x = 2 merupakan penyelesaian

Jadi penyelesaian dari persamaan (x – 2)^{x2 + 3x} = (x – 2)^{2x + 6} adalah x = – 3, x = 1, x = 2 dan x = 3.

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen (x² + 3x – 4)^{x2 + 3x} = (x² + 3x – 4)^{2x + 6}.

Penyelesaian:

Untuk contoh 3, silahkan dicoba dulu ya...
Jika kesulitan silahkan isi komenter dibawah.
Terima kasih








⇔

Baca Juga :

Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^g(x)

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk Persamaan A{a^f(x)}² + B{a^f(x)}+ C = 0 - Pada postingan sebelumnya kita telah mempelajari macam-macam bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1, bentuk a^f(x) = a^p, bentuk a^f(x) = a^g(x) dan bentuk a^f(x) = b^f(x).

Postingan kali ini masih seputar cara menyelesaikan Persamaan Eksponen. Sengaja saya bahas secara terpisah, agar adik-adik dapat lebih mudah memahami perbedaannya.
Jika kemarin adik-adik sudah memahami cara menyelesaikan persamaan eksponen a^f(x) = b^g(x), yaitu persamaan eksponen yang memiliki bilangan pokok dan pangkat yang berbeda. Kali ini kita akan mempelajari cara menyelesaikan persamaan eksponen yang berbentuk persamaan kuadrat..
Bagaimana ya caranya???
Kebayang tidak adek-adek??


Nahhhh... kita mulai saja ya. Simak baik-baik penjelasan berikut ini. Dannnn.... seperti biasa, jangan lupa bawa pensil dan kertas untuk mencoba setiap soal yang akan kakak bahas berikut. Karena dengan membaca dan melihat saja tidak akan membuat kalian jadi memahami materi ini.
Oke... SIMAK YA!!



Yang perlu diIngat!!!





Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen 2^2x – 3 . 2^{x + 2} + 32 = 0.

Penyelesaian:
     2^2x    – 3 . 2^{x + 2}  + 32 = 0
⇔ (2^x)² – 3 . 2² . 2^x + 32 = 0
⇔ (2^x)² –   12 . 2^x    + 32 = 0
Misalkan : y = 2^x, maka persamaan (2^x)² – 12 . 2^x + 32 = 0 akan menjadi
      y² – 12y + 32 = 0
⇔   (y – 4)(y – 8) = 0
⇔  y – 4 = 0       y – 8 = 0
⇔        y = 4             y = 8

Ingat, tadi kita memisalkan y = 2^x, maka
Untuk y = 4 ⇔ 2^x = 4 ⇔ x = 2
Untuk y = 8 ⇔ 2^x = 8 ⇔ x = 3

Jadi penyelesaian dari persamaan 2^2x – 3 . 2^{x + 2} + 32 = 0 adalah x = 2 dan x = 3

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen 2^2x – 2^{x + 1} – 8 = 0.

Penyelesaian:
        2^2x – 2^{x + 1} – 8 = 0.
⇔ (2^x)² – 2¹ . 2^x – 8 = 0
⇔ (2^x)² – 2 . 2^x  – 8 = 0
Misalkan : y = 2^x, maka persamaan (2^x)² – 2 . 2^x – 8 = 0 akan menjadi
       y² – 2y – 8 = 0
⇔   (y – 2)(y + 4) = 0
⇔  y – 2 = 0       y + 4 = 0
⇔        y = 2             y = –4 (TM)

Ingat, tadi kita memisalkan y = 2^x, maka
Untuk y = 2 ⇔ 2^x = 2 ⇔ x = 1

Jadi penyelesaian dari persamaan 2^2x – 2^{x + 1} – 8 = 0 adalah x = 1.

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen 3^x – 45 . 3^–x – 4 = 0.

Penyelesaian:
        3^x – 45 . 3^–x – 4 = 0.      (masing-masing dikalikan 3^x )
⇔ (3^x)² – 45 – 4 . 3^x  = 0
⇔ (3^x)² – 4 . 3^x  – 45 = 0
Misalkan : y = 3^x, maka persamaan (3^x)² – 4 . 2^x – 45 = 0 akan menjadi
       y² – 4y – 45 = 0
⇔   (y – 9)(y + 5) = 0
⇔  y – 9 = 0       y + 5 = 0
⇔        y = 9             y = –5 (TM)

Ingat, tadi kita memisalkan y = 3^x, maka
Untuk y = 9 ⇔ 3^x = 9 ⇔ x = 2

Jadi penyelesaian dari persamaan 3^x – 45 . 3^–x – 4 = 0 adalah x = 2.

Baca Juga :

Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^g(x)

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = b^g(x) dengan MUDAH - Pada postingan sebelumnya kita telah mempelajari macam-macam bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1, bentuk a^f(x) = a^p, bentuk a^f(x) = a^g(x) dan bentuk a^f(x) = b^f(x).

Postingan kali ini masih seputar cara menyelesaikan Persamaan Eksponen. Sengaja saya bahas secara terpisah, agar adik-adik dapat lebih mudah memahami perbedaannya.
Jika kemarin adik-adik sudah memahami cara menyelesaikan persamaan eksponen a^f(x) = b^f(x), yaitu persamaan eksponen yang memiliki bilangan pokok yang berbeda namun pangkatnya sama. Kali ini kita akan mempelajari cara menyelesaikan persamaan eksponen yang bilangan pokok dan pangkatnya berbeda atau tidak sama (a^f(x) = b^f(x)).
Bagaimana ya caranya???
Kebayang tidak adek-adek??


Nahhhh... kita mulai saja ya. Simak baik-baik penjelasan berikut ini. Dannnn.... seperti biasa, jangan lupa bawa pensil dan kertas untuk mencoba setiap soal yang akan kakak bahas berikut. Karena dengan membaca dan melihat saja tidak akan membuat kalian jadi memahami materi ini.
Oke... SIMAK YA!!



Yang perlu diIngat!!!





Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan nilai x jika 3^{x – 1} = 2^{x + 4}.

Penyelesaian:

PEMBAHASAN  CONTOH1
Cara 1	Cara 2
3x – 1 = 2x + 4 ⇔      log 3x – 1       = log 2x + 4 ⇔      (x – 1) log 3  = (x + 4) log 2 ⇔    x log 3 – log 3 = x log 2 + 4 log 2 ⇔ x log 3 – x log 2 = 4 log 2 + log 3 ⇔ x (log 3 – log 2) = log 24 + log 3 ⇔          x (log 3/2) = log 16.3 ⇔                         x = 3/2 log 48	3x – 1 = 2x + 4 ⇔   3x.3–1 = 2x.24 ⇔     3x/2x = 24/3–1 ⇔    (3/2)x = 16.3 ⇔    (3/2)x = 48 ⇔            x = 3/2 log 48

Contoh 2:

Tentukan nilai x jika 3^{x + 2} = 4^{x – 1}.

Penyelesaian:

PEMBAHASAN CONTOH 2
Cara 1	Cara 2
3x + 2 = 4x – 1 ⇔      log 3x + 2       = log 4x – 1 ⇔      (x + 2) log 3  = (x – 1) log 4 ⇔    x log 3 + 2 log 3 = x log 4 – log 4 ⇔ x log 3 – x log 4 = –2 log 3 – log 4 ⇔ x (log 3 – log 4) = log 3–2 – log 4 ⇔          x (log 3/4) = log 1/36 ⇔                         x = 3/4 log 1/36 ⇔                         x = 4/3 log 36	3x + 2 = 4x – 1 ⇔   3x.32 = 4x.4–1 ⇔     3x/4x = 4–1.3–2 ⇔    (3/4)x = 1/(4.9) ⇔    (3/4)x = 1/36 ⇔    (4/3)x = 36/1 ⇔            x = 4/3 log 36

Contoh 3:

Jika 3^{2x + 3} = 4 maka nilai x = .....

Silahkan contoh ketiganya dicoba dulu ya...., jika ada kesulitan silahkan komentar dibawah.

Baca Juga :

Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^g(x)

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = b^f(x) - Pada postingan sebelumnya kita telah mempelajari macam-macam bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1, bentuk a^f(x) = a^p dan bentuk a^f(x) = a^g(x).
Jika kemarin adik-adik sudah memahami cara menyelesaikan persamaan eksponen a^f(x) = a^g(x), yaitu persamaan eksponen yang memiliki bilangan pokok yang sama namun pangkatnya berbeda. Lalu bagaimana ya jika dibalik?? persamaan eksponennya yang memiliki bilangan pokok yang berbeda namun pangkatnya sama (a^f(x) = b^f(x)).
Bagaimana ya caranya???
Kebayang tidak adek-adek??


Nahhhh... kita mulai saja ya. Simak baik-baik penjelasan berikut ini. Dannnn.... seperti biasa, jangan lupa bawa pensil dan kertas untuk mencoba setiap soal yang akan kakak bahas berikut. Karena dengan membaca dan melihat saja tidak akan membuat kalian jadi memahami materi ini.
Oke... SIMAK YA!!



Yang perlu diIngat!!!



Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan nilai x jika 3^{2x + 1} = 2^{2x + 1}.

Penyelesaian:
     3^{2x + 1} = 2^{2x + 1}
⇔ 2x + 1 = 0
⇔       2x = – 1
⇔         x = – 1/2
⇔         x = – 0,5

Contoh 2:

Tentukan nilai x jika 5^{3x – 6} = 9^{3x – 6}.

Penyelesaian:
        5^{3x – 6} = 9^{3x – 6}
⇔    3x – 6 = 0
⇔          3x = 6
⇔          3x = 6
⇔            x = 6/3
⇔            x = 2

Contoh 3:

Jika 2^{2x + 10} = 9^{x + 5} maka nilai x = .....

Penyelesaian:
       2^{2x + 10} = 9^{x + 5}
⇔   2^{2x + 10} = 9^{x + 5}
⇔   2^{2(x + 5)} = 9^{x + 5}
⇔       4^{x + 5} = 9^{x + 5}
⇔        x + 5 = 0
⇔               x = –5

Baca Juga :

Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^g(x)

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^g(x) - Pada postingan sebelumnya kita telah mempelajari macam-macam bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1 dan bentuk a^f(x) = a^p.
Jika kemarin adik-adik sudah memahami cara menyelesaikan persamaan eksponen a^f(x) = a^p, maka akan lebih mudah untuk memahami cara menyelesaikan persamaan eksponen a^f(x) = a^g(x) ini.
Lalu bagaimana caranya???
Nahhhh... kita mulai saja ya. Simak baik-baik penjelasan berikut ini. Dannnn.... jangan lupa bawa pensil dan kertas untuk mencoba setiap soal yang akan kakak bahas berikut. Karena dengan membaca dan melihat saja tidak akan membuat kalian jadi memahami materi ini.
Oke... SIMAK YA!!



Yang perlu diIngat!!!



Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan nilai x jika 2^{2x + 1} = 2^{x + 5}.

Penyelesaian:
     2^{2x + 1} = 2^{x + 5}
⇔ 2x + 1 = x + 5
⇔ 2x – x = 5 – 1
⇔         x = 4

Contoh 2:

Tentukan nilai x jika 5^{4x – 3} = 5^{2x + 7}.

Penyelesaian:
        5^{4x – 3} = 5^{2x + 7}
⇔    4x – 3 = 2x + 7
⇔  4x – 2x = 7 + 3
⇔          2x = 10
⇔            x = 10/2
⇔            x = 5

Contoh 3:

Jika 3^{2x + 5} = 9^{2x – 1} maka nilai x = .....

Penyelesaian:
       3^{2x + 5} = (3²)^{2x – 1}
⇔   3^{2x + 5} = 3^{4x – 2}
⇔   2x + 5 = 4x – 2
⇔ 2x – 4x = –2 – 5
⇔       –2x = –7
⇔           x = (–7)/(–2)
⇔           x = 3,5

Baca Juga :

Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p - Pada postingan sebelumnya kita telah mempelajari macam-macam bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1. Kali ini kita akan membahas dengan lebih mendalam cara menyelasaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p pada berbagai macam soal, sehingga adik-adik dapat memahami bentuk persamaan eksponen ini.


Ingat!!!
Jika terdapat persamaan a^f(x) = a^p, dengan a>0 dan a≠1. Himpunan penyelesaian bentuk persamaan eksponen diatas ditentukan dengan cara menyamakan pangkat ruas kiri dengan ruas kanan.

a^f(x) = a^p ⇔ f(x) = p


Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan nilai x jika 2^x = 8.

Penyelesaian:
     2^x = 8
⇔ 2^x = 2³
⇔   x = 3

Contoh 2:

Tentukan nilai x jika 0,5^{x + 1} = 4.

Penyelesaian:
        0,5^{x + 1} = 4
⇔  (1/2)^{x + 1} = 2²
⇔  (2^–1)^{x + 1} = 2²
⇔       2^{–x – 1} = 2²
⇔       –x – 1 = 2
⇔               x = 2 – 1
⇔               x = 1

Contoh 3:

Jika 9^{2x – 3} = 27 maka nilai x = .....

Penyelesaian:
         9^{2x – 3} = 27
⇔ (3²)^{2x – 3} = 3³
⇔     3^{4x – 6} = 3³
⇔     4x – 6 = 3
⇔           4x = 3 + 6
⇔           4x = 9
⇔             x = 9/4
⇔             x = 2,25

Baca Juga :

Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1 - Seperti yang telah dibahas pada postingan sebelumnya, bahwa salah satu bentuk persamaan eksponen adalah a^f(x) = 1. Kali ini kita akan membahas dengan lebih mendalam cara menyelasaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1 pada berbagai macam soal, sehingga adik-adik dapat memahami bentuk persamaan eksponen ini.


Ingat!!!
Jika terdapat persamaan a^f(x) = 1 dengan a>0 dan a≠1, untuk menentukan himpunan penyelesaian bentuk persamaan tersebut gunakan sifat :

a^f(x) = 1 ⇔ f(x)=0


Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan nilai x jika 2^x = 1.

Penyelesaian:
  2^x = 1
⇔ x = 0

Contoh 2:

Tentukan nilai x jika 0,5^{x + 3} = 1.

Penyelesaian:
    0,5^{x + 3} = 1
⇔    x + 3 = 0
⇔          x = -3

Contoh 3:

Jika 3^{2x + 6} = 1 maka nilai x = .....

Penyelesaian:
   3^{2x + 6} = 1
⇔ 2x + 6 = 0
⇔       2x = –6
⇔         x = –6/3
⇔         x = –2

Contoh 4:

Jika 2^{x – 5} = 1 maka nilai x = .....

Penyelesaian:
    2^{x – 5} = 1
⇔ x – 5 = 0
⇔      x = 5

Contoh 5:

Tentukanlah peyelesaian dari persamaan eksponen 2^{x2 – 2x – 3} = 1 maka nilai x = .....

Penyelesaian:
    2^{x2 – 2x – 3} = 1
⇔   x² – 2x – 3   = 0
⇔ (x + 1)(x – 3) = 0
⇔ x + 1 = 0       x – 3 = 0
⇔       x = –1           x = 3

Baca Juga:

Cara mudah menyelasaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p
Ringkasan Materi Fungsi Eksponen dan Logaritma

Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma dengan Bilangan Pokok a > 1

fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah dua fungsi yang saling invers. Untuk memahami sifat-sifat kedua fungsi tersebut, pada bab ini kita akan menggambar grafik kedua fungsi itu. Sekarang, coba gambar grafik fungsi f(x) = 2^x dan inversnya, yaitu g(x) = ²log x log x dalam satu sumbu koordinat.
Untuk memudahkan menggambar kedua grafik fungsi ini, terlebih dahulu buatlah tabel nilai-nilai x dan f(x) = 2^x

Setelah itu, gambarkan titik-titik tersebut pada koordinat Cartesius. Lalu hubungkan titik-titik tersebut dengan garis membentuk kurva mulus, sehingga diperoleh grafik f(x) = 2^x.

. Grafik yang kalian dapatkan ini, cerminkan terhadap garis y = x
sehingga kalian mendapatkan grafik fungsi inversnya, yaitu g(x) = ²log x

Dengan memperhatikan grafik fungsi f(x) = 2^x dan g(x) = ²log x yang masing-masing merupakan grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 2, kalian dapat mengetahui bahwa:

PEMBAHASAN 1
No.	Fungsi f(x) = 2x	Fungsi g(x) = 2log x
1.	Daerah asalnya {x | x ∈ R}	Daerah asalnya {x | x > 0, x ∈ R}
2.	Daerah hasilnya {y | y > 0, y ∈ R}	Daerah hasilnya {y | y ∈ R}
3.	Sumbu-x asimtot datar	Sumbu y asimtot tegak
4.	Grafik di atas sumbu-x	Grafik di sebelah kanan sumbu-y
5.	Memotong sumbu-y di titik (0, 1)	Memotong sumbu-x di titik (1, 0)
	Merupakan fungsi naik untuk setiap x	Merupakan fungsi naik untuk setiap x

Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau e^x, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183.


Fungsi eksponensial terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif.
Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik e^x selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif.

Secara umum, variabel x dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, ataupun objek matematika yang lain; lihat definisi formal di bawah ini.

Dengan menggunakan logaritma natural, fungsi eksponensial yang lebih generik dapat didefinisikan. Fungsi a^x = e^{x ln a} yang terdefinisikan untuk a > 0, dan semua bilangan real x, disebut juga fungsi eksponensial dengan basis a.

Perlu diperhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku pula untuk a = e, karena
e^{x ln e} = e^x.1 = e^x

Fungsi eksponensial dapat "menterjemahkan" antara dua macam operasi, penjumlahan dan pengkalian. Ini dapat dilihat dari rumus-rumus eksponen sebagai berikut:



Rumus-rumus di atas berlaku untuk semua bilangan real positif a dan b dan semua bilangan real x dan y. Ekspresi yang mengandung pecahan dan pengakaran pada umumnya dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi eksponensial, karena:

dan, untuk semua a > 0, bilangan real b, dan bilangan bulat n > 1:

Turunan dan persamaan diferensial pada Fungsi Eksponensial

Pentingnya fungsi eksponensial dalam matematika dan ilmu-ilmu lainnya adalah karena sifat turunannya.


Dengan kata lain, fungsi ex jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri. Sifat "ketidakmempanan untuk diturunkan" ini sangat unik, karena hanya fungsi inilah yang mempunyai sifat seperti ini. Sifat fungsi Eksponensial ini dapat diinterpretasikan sebagai berikut:

• Kemiringan (gradien) grafik fungsi ini pada semua titiknya sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut.
• Bertambahnya nilai fungsi pada x sama dengan nilai fungsi pada x
• Fungsi ini merupakan solusi dari persamaan diferensial y'= y .
• Dalam ilmu-ilmu terapan, banyak persamaan diferensial yang menghasilkan fungsi eksponensial, antara lain persamaan Schrödinger, persamaan Laplace, dan persamaan untuk gerakan harmonis sederhana.

Untuk fungsi eksponensial dengan basis-basis lain (yang bukan e):


jadi, semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.

Definisi formal Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial e^x dapat didefinisikan menurut beberapa definisi yang ekivalen, sebagai deret tak terhingga. Beberapa definisi tersebut antara lain:


atau sebagai limit berikut ini:


Dalam definisi di atas, n! adalah faktorial dari n, dan x dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks, ataupun konsep-konsep matematika lainnya yang kompleks, seperti matriks bujursangkar.

Nilai numerik dari Fungsi eksponensial

Untuk mendapatkan nilai numerik dari fungsi eksponensial, deret tak terhingga di atas dapat ditulis menjadi:



Jika x lebih kecil dari 1, maka ekspresi di atas akan menemukan nilai numerik fungsi pada titik yang dicari dengan cepat.