MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA YANG BERKAITAN DENGAN PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL


Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita.
Untuk menyelesaikannya, buatlah terlebih dahulu model matematika berdasarkan soal cerita tersebut. Kemudian, selesaikanlah.
Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh berikut.

Contoh 1

Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m², tentukan luas tanah petani tersebut.

Penyelesaian:
Misalkan panjang tanah = x maka lebar tanah = x – 6.
Model matematika dari soal di samping adalah p = x dan l = x – 6, sehingga
K = 2(p + l)
60 = 2( x + x – 6)

Penyelesaian model matematika di atas sebagai berikut.
     K  = 2(p + l)
⇔ 60 = 2(x + x – 6)
⇔ 60 = 2(2x – 6)
⇔ 60 = 4x – 12
⇔ 60 + 12 = 4x – 12 + 12
⇔ 72 = 4x
⇔ 72/4 = 4x/4
⇔ 18 = x

Luas = p.l
         = x(x – 6)
         = 18(18 – 6)
         = 18.12
         = 216
Jadi, luas tanah petani tersebut adalah 216 m²

Contoh 2

Diketahui harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal. Seorang pedagang membeli 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal. Pedagang tersebut harus membayar Rp275.000,00.
a. Buatlah model matematika dari keterangan di atas.
b. Selesaikanlah model matematika tersebut. Kemudian, tentukan harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal.

Penyelesaian:
a. Misalkan harga sepasang sepatu = x dan harga sepasang sandal = y. Model matematika berdasarkan keterangan di atas adalah x = 2y dan 4x + 3y = 275.000.
b. Dari model matematika diketahui x = 2y dan 4x + 3y = 275.000. Digunakan motode substitusi, sehingga diperoleh
     4x + 3y = 275.000
⇔ 4(2y) + 3y = 275.000
⇔ 8y + 3y = 275.000
⇔ 11y = 275.000
⇔ y = 25.000

Karena x = 2y dan y = 25.000, maka
            x = 2(25.000)
            x = 50.000
Jadi, harga sepasang sepatu adalah Rp50.000,00 dan harga sepasang sandal Rp25.000,00.
Harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal dapat ditulis sebagai 3x + 5y, sehingga
3x + 5y = (3 × 50.000) + (5 × 25.000)
             = 150.000 + 125.000
             = 275.000
Jadi, harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal adalah Rp275.000,00.

MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA YANG BERKAITAN DENGAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

1. Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan ukuran panjang (x + 5) cm, lebar ( x – 2) cm, dan tinggi x cm.
a. Tentukan model matematika dari persamaan panjang kawat yang diperlukan dalam x.
b. Jika panjang kawat yang digunakan seluruhnya tidak lebih 124 dari 132 cm, tentukan ukuran maksimum balok tersebut.

Penyelesaian:
a. Misalkan panjang kawat yang diperlukan = K, maka model matematikanya sebagai berikut.
K = 4p + 4l + 4t
= 4( x + 5) + 4( x – 2) + 4x
= 4x + 20 + 4 x – 8 + 4x
= 12x + 12

b. Panjang kawat tidak lebih dari 132 cm dapat ditulis K = 12x + 12 ≤ 132 cm, sehingga diperoleh
12x + 12 ≤ 132
12x + 12 – 12 ≤ 132 – 12
12x ≤ 120
12x/12 ≤ 120/12
x ≤ 10

Nilai maksimum x = 10 cm, sehingga diperoleh
p = (x + 5) cm = 15 cm
l = (x – 2) cm = 8 cm
t = x = 10 cm.
Jadi, ukuran maksimum balok adalah (15 × 8 × 10) cm.


2. Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang dengan panjang 16x cm dan lebar 10x cm. Jika luasnya tidak kurang dari 40 dm, tentukan ukuran minimum permukaan meja tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui panjang permukaan meja (p) = 16x, lebar (l) = 10x, dan luas = L.
Model matematika dari luas persegi panjang adalah
L
= p × l
= 16x × 10x
= 160x²


Luas tidak kurang dari 40 dm2 = 4.000 cm dapat ditulis
L = 160x² ≥ 4.000, sehingga diperoleh
160² ≥ 4.000
x² ≥ 25
x ≥ 5

Nilai minimum x = 5 cm, sehingga diperoleh
p = 16x cm = 16 × 5 cm = 80 cm
l = 10x cm = 10 × 5 cm = 50 cm.
Jadi, ukuran minimum permukaan meja tersebut adalah (80 × 50) cm.

Pada bagian depan telah kalian pelajari cara menyelesaikan persamaan linear satu variabel, salah satunya dengan substitusi (penggantian). Hal ini juga berlaku pada pertidaksamaan linear satu variabel.

Perhatikan pertidaksamaan 10 – 3x > 2, dengan x variabel pada himpunan bilangan asli.

Jika x diganti 1 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(1) > 2 ⇔ 7 > 2 (pernyataan benar)	Jika x diganti 2 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(2) > 2 ⇔ 10 – 6 > 2 ⇔ 4 > 2 (pernyataan benar)
Jika x diganti 3 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(3) > 2 ⇔ 10 – 9 > 2 ⇔ 1 > 2 (pernyataan salah)	Jika x diganti 4 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(4) > 2 ⇔ 10 – 12 > 2 ⇔ –2 > 2 (pernyataan salah)

Ternyata untuk x = 1 dan x = 2, pertidaksamaan 10 – 3x > 2 menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian dari 10 – 3x > 2 adalah {1, 2}.

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Contoh Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x – 2 > 3x + 5 dengan x variabel pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian:
Cara 1
Dengan mengganti tanda “>” dengan “=” diperoleh persamaan 4x – 2 = 3 x + 5.
Dengan cara menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh penyelesaiannya adalah x = 7. Selanjutnya ambillah satu bilangan cacah yang kurang dari 7 dan lebih dari 7.
Periksalah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4x – 2 > 3 x + 5.
Jika x diganti 6 maka
4x – 2 > 3 x + 5
4(6) – 2 > 3(6) + 5
24 – 2 > 18 + 5
22 > 23 (bernilai salah)

Jika x diganti 8 maka
4x – 2 > 3 x + 5
4(8) – 2 > 3(8) + 5
32 – 2 > 24 + 5
30 > 29 (bernilai benar)
Karena nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari 7, maka himpunan penyelesaian dari 4x – 2 > 3x + 5 adalah {8, 9, 10, ...}.


Cara 2
4x – 2 > 3x + 5
4x – 2 + 2 > 3x + 5 + 2 (kedua ruas ditambah 2)
4x > 3x + 7
4x + (–3 x) > 3x + (–3x) + 7 (kedua ruas ditambah –3x)
x > 7
Karena x variabel pada himpunan bilangan cacah maka himpunan penyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.


Cara 3
4x – 2 > 3x + 5
4x – 2 – 5 > 3x + 5 – 5 (kedua ruas dikurangi 5)
4x – 7 > 3x
4x + (–4x) – 7 > 3x + (–4x) (kedua ruas ditambah –4x)
–7 > – x
–7 : (–1) < –x : (–1) (kedua ruas di bagi dengan –1 tetapi tanda ketidaksamaan berubah menjadi <) 7 < x atau x > 7
Karena x anggota bilangan cacah maka himpunan penyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.


Berdasarkan contoh di atas, untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel, dapat dilakukan dalam dua cara sebagai berikut.
a. Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidaksamaan dengan tanda “=”.
b. Menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen.

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.
Suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen dengan cara sebagai berikut.
a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.
b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.
c. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, tetapi tanda ketidaksamaan berubah, dimana
1) > menjadi <; 3) < menjadi >;
2) ≥ menjadi ≤; 4) ≤ menjadi ≥.

PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

Dalam kehidupan sehari-hari, adik-adik pasti pernah atau bahkan sering menjumpai kalimat-kalimat seperti berikut.
a. Tinggi badan Ani lebih dari 152 cm.
b. Berat badan Amri 2 kg kurang dari berat badanku.
c. Salah satu syarat menjadi anggota TNI adalah tinggi badannya tidak kurang dari 165 cm.
d. Sebuah bus dapat mengangkut tidak lebih dari 59 orang.

Bagaimana menyatakan kalimat-kalimat tersebut dalam bentuk kalimat matematika? Untuk dapat menjawabnya pelajari uraian berikut.

1. Pengertian Ketidaksamaan

Agar kalian memahami pengertian ketidaksamaan, coba ingat kembali materi di sekolah dasar mengenai penulisan notasi >, <, ≥, dan ≤.
a. 3 kurang dari 5 ditulis 3 < 5.
b. 8 lebih dari 4 ditulis 8 > 4.
c. x tidak lebih dari 9 ditulis x ≤ 9.
d. Dua kali y tidak kurang dari 16 ditulis 2y ≥ 16.
Kalimat-kalimat 3 < 5, 8 > 4, x ≤ 9, dan 2y ≥ 16 disebut ketidaksamaan atau pertidaksamaan.
Dengan kata lain,
Pertidaksamaan adalah Kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ketidaksamaan (<, >, ≥, dan ≤).

2 . Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pada postingan sebelumnya, kita telah mempelajari bahwa suatu persamaan selalu ditandai dengan tanda hubung “=”. Pada bagian ini kalian akan mempelajari ciri suatu pertidaksamaan.
Pada postingan yang lalu juga telah dijelaskan bahwa Persamaan linier satu Variabel hanya memiliki satu variabel berpangkat satu, maka demikian juga dengan Pertidaksamaan linear satu variabel. Yang membedakan adalah tanda hubung yang dimilikinya.


Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.
Suatu ketidaksamaan selalu ditandai dengan salah satu tanda hubung berikut.
“<” untuk menyatakan kurang dari.
“>” untuk menyatakan lebih dari.
“≤” untuk menyatakan tidak lebih dari atau kurang dari atau sama dengan.
“≥” untuk menyatakan tidak kurang dari atau lebih dari atau sama dengan.

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, Pertidaksamaan selalu ditandai dengan notasi >, <, ≥, dan ≤. dengan kata lain

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu variabel dan berpangkat satu (linear).


Contoh:
Dari bentuk-bentuk berikut, tentukan yang merupakan pertidaksamaan linear dengan satu variabel.
a. x – 2 > 5
b. a ≤ 7 – 2b
c. y² – 4y ≥ 3

Penyelesaian:
a. x – 3 > 5
Pertidaksamaan x – 3 > 5 mempunyai satu variabel, yaitu x dan berpangkat 1, sehingga x – 3 > 5 merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.

b. a ≤ 7 – 2b
Pertidaksamaan a ≤ 7 – 2b mempunyai dua variabel, yaitu a dan b yang masing-masing berpangkat 1. Dengan demikian a ≤ 7 – 2b bukan suatu pertidaksamaan linear satu variabel.

c. y² – 4y ≥ 3
Karena pertidaksamaan y² – 4y ≥ 3 mempunyai variabel y dan y², maka y² – 4y ≥ 3 bukan merupakan
pertidaksamaan linear satu variabel.

3. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Pertidaksamaan selalu ditandai dengan notasi >, <, ≥, dan ≤. Masing-masing tanda hubung ini memiliki grafik yangg berbeda.