Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal 1
Di sebuah kabupaten, jumlah penduduk pada 1 Januari 2008 adalah 50.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk di kabupaten itu 10% per tahun, hitunglah jumlah penduduk di kabupaten itu pada 1 Januari 2018.

Penyelesaian:
Langkah 1
Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.
Diketahui:


Ditanyakan: Jumlah penduduk pada 1 Januari 2018.
Langkah 2
Membuat model matematika dari masalah tersebut.
Misalkan, jumlah penduduk pada 1 Januari 2008 adalah
U
= 50.000 maka diperoleh model berikut.
= 50.000 + 0,1(50.000) (gunakan sifat distributif)
= 50.000 (1 + 0,1)
= 1,1 × 50.000

= 1,1 × 50.000 + 0,1(1,1 × 50.000) (gunakan sifat

= 1,1 × 50.000 (1 + 0,1)


Contoh Soal 2
Suatu deret geometri memiliki suku ketujuh 64 dan suku kesepuluh 512. Tentukan rasio (r), suku kelima (U5), dan jumlah delapan suku pertamanya (S8).
Jawab:
Diketahui U7 = 64 dan U10 = 512.
U₇ = 64 → ar⁶ = 64 .... (1)
U₁₀ → ar⁹ = 512 .....(2)

Subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), diperoleh
ar⁹ = 512
ar⁶ . r³ = 512
64 . r³ = 512
r³ = 8
r = 2
Jadi, rasio deret geometri tersebut adalah 2.

• Dari persamaan (1) diperoleh :
ar⁶ = 64
a . 2⁶ = 64
a = 1
Diperoleh a = 1, sehingga
U₅ = ar⁴
= 1.2⁴
= 16
Jadi, suku kelimanya adalah 16.



Jadi, jumlah delapan suku pertamanya adalah 255

Contoh Soal 3
Di suatu desa, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2007 adalah 10.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk di desa tersebut 5% per tahun, tentukan jumlah penduduk di desa tersebut pada tanggal 1 Januari 2011.
Jawab:
Misalkan, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2007 (U1) adalah 10.000 dan tingkat pertumbuhan penduduk (r) adalah 5 % = 0,05.
• Jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2008 adalah
U2 = 10.000 + (10.000 × 0,05) = 10.500 jiwa
• Jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2009 adalah
U3 = 10.500 + (10.500 × 0,05) = 11.020 jiwa
dan seterusnya hingga diperoleh barisan sebagai berikut: 10.000, 10.500, 11.025, ...
sehingga a = 10.000
dan
r = 10500/10000 = 1,05

U₅ = ar⁴
= 1.(1,05)⁴
= 12155,0625
Jadi, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2011 adalah 12.155 jiwa

Contoh Soal 4
Diketahui suatu barisan : x + 2, 9, x + 26. Tentukanlah nilai x agar barisan tersebut dapat disusun menjadi sebuah deret geometri.

Jawab:
Diketahui bahwa :
U₁ = x + 2
U₂ = 9
U₃ = x + 26
Dengan menggunakan sifat dasar deret geometri maka : (Lihat macam-macam SIfat dasar deret Geometri)
U₂ ² = U₁ . U₃
9² = (x + 2) (x + 26)
81 = x² + 28x – 52
0 = x² + 28x – 29
0 = (x – 1)(x + 29)
x = 1 atau x = –29
Jadi, nilai x = 1 atau x = –29


Contoh Soal 5
Dari suatu geometri, diketahui suku keenamnya 32 dan suku kesembilannya 256.
Tentukan:
a. rasio dari deret tersebut,
b. suku ketiga (U3) dari deret tersebut.
Jawab:
Diketahui: U₆ = 32 dan U₉ = 256
U₆ . r³ = U₉
32 . r³ = 256
r³ = 8
r = 2
Jadi, rasio deret tersebut adalah 2.


U₃ . r³ = U₆
U₃ . 2³ = 32
U³ . 8 = 32
U₃ = 4
Jadi, suku ketiga deret tersebut adalah 4

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan |r| < 1. Jumlah S dari deret geometri tak hingga adalah

Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga.
Adapun untuk n tak terhingga terdapat dua kasus yang harus kalian perhatikan, yaitu:
Kasus 1
Jika –1 < r < 1, maka rⁿ menuju 0. Akibatnya:

Deret geometri dengan –1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat).

Kasus 2
Jika r < –1 atau r > 1, maka untuk n → ∞, nilai rⁿ makin besar.
Untuk r < –1, n → ∞ dengan n ganjil didapat rⁿ → –∞
Untuk r < –1, n → ∞ dengan n genap didapat rⁿ → ∞
Untuk r > 1, n → ∞ didapat rⁿ → ∞
Akibatnya,


Deret geometri dengan r < –1 atau r > 1 ini disebut deret geometri divergen (memencar)

Contoh Soal 1
1. Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut!
Jawab:
U₂ = 8, berarti ar = 8
U₅ = 64, berarti: ar⁴ = 64
ar.r³ = 64
8.r³ = 64
r³ = 64
r = 2

Dengan mensubstitusi r = 2 ke persamaan ar = 8, kalian mendapatkan
ar = 8
a.2 = 8
sehingga a = 4.
Jumlah n suku pertama deret ini adalah


Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah
S₁₀ = 4(2¹⁰ – 1)
= 4(1024 – 1)
= 4(1023)
= 4092

Contoh Soal 2
Tentukanlah nilai x agar deret geometri
1 + x + x² + x³ + ... konvergen.
Jawab:
Tentukan rasio dari deret tersebut terlebih dahulu.
r = x/1 = x
Agar deret geometri tersebut konvergen, haruslah –1 < r < 1 sehingga –1 < x < 1.


Contoh Soal 3
Niko Sentera memotong seutas tali menjadi 5 potong. Panjang kelima potong tali ini membentuk barisan geometri. Jika potongan yang paling pendek 2 cm dan potongan yang paling panjang 162 cm, berapakah panjang tali semula?
Jawab:
Panjang potongan yang paling pendek merupakan U₁, sedangkan panjang potongan yang paling panjang merupakan U₅.
Jadi, U₁ = 2 cm dan U₅ = 162 cm.
U₅ = 162 cm, didapat
ar⁴ = 162 cm.
Oleh karena a = 2 cm, maka
2.r⁴ = 162 cm.
r⁴ = 81
r = 3
Jadi, r = 3.
Panjang tali semula merupakan jumlah 5 suku pertama deret geometri tersebut, yaitu:

Jadi, panjang tali semula adalah 242 cm.

Seperti yang telah kita pelajari sebelumnya pada Barisan Geometri, jika U₁, U₂, U₃, U₄, ... , U_n adalah barisan geometri maka suku-sukunya dapat ditulis a, ar, ar², ar³, ar⁴, ..., ar^{n – 1}. Dari barisan geometri tersebut, kamu dapatmemperoleh barisan penjumlahan berikut.
a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + ar^{n – 1}
Barisan penjumlahan ini disebut deret geometri.
Misalkan,jumlah n suku pertama deret geometri dilambang kan dengan Sn, maka berlaku hubungan berikut.
          S_n = a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + ar^{n – 2} + ar^{n – 1}
      r . S_n =       ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + ar^{n – 1} + arⁿ
___________________________________________________________ –
(1 – r)S_n = a – arⁿ
(1 – r)S_n = a (1 – rⁿ)

Dengan demikian, jumlah n suku pertama deretgeometri adalah sebagai berikut.

Contoh Soal 1

Tentukan jumlah delapan suku pertama dari barisan 2, 6, 18, 54, ....

Penyelesaian:

PEMBAHASAN SOAL 1
Menentukan a dan r	Menentukan S8
a =2 r = 6/2 = 3

Contoh Soal 2

Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskan dengan S_n = 2³ⁿ – 1. Tentukan suku ke-n deret tersebut.

Penyelesaian:

PEMBAHASAN CONTOH SOAL 2
Cara 1	Cara 2
Sn = 23n – 1   Sn – 1 = 23(n – 1) – 1             = 23n. 2–3 – 1     Un = Sn – Sn – 1         = (23n – 1) – (23n. 2–3 – 1)         = 23n – 1 – 23n. 2–3 + 1         = 23n(1 – 2–3) Sehingga:	Sn = 23n – 1   S1 = U1 = 23.1 – 1 = 8 – 1 = 7   S2 = U1 + U2 = 23.2 – 1 = 64 – 1 = 63   Sehingga   U2 = S2 – S1 = 63 – 7 = 56   dan   r = U2/U1 = 56/7 = 8   Ingat!!   Un = arn – 1         = 7.8n – 1

Contoh Soal 3

Diketahui barisan geometri : 3, 6, 12, 24, 48, ..., Un. Tentukan suku ketujuh (U7) dan jumlah tujuh suku pertamanya (S7).

Jawab:

PEMBAHASAN CONTOH SOAL 3
Menentukan suku ketujuh (U7)	Menentukan jumlah tujuh suku pertamanya (S7).
Un = arn – 1   maka   U7 = ar7 – 1   U7 = 3.26         = 3 · 64         = 192 Jadi, suku ketujuhnya adalah 192.	Jadi, jumlah tujuh suku pertamanya adalah 381

Barisan Geometri.


Perhatikan contoh-contoh barisan di bawah ini.
a. 3, 6, 12, 24, . . .
b. a, a², a³, a⁴, a⁵, . . .
c. py, py², py³, py⁴, py⁵, ...

Aturan apakah yang berlaku pada barisan bilangan di atas? Apakah bedanya dengan barisan aritmatika?
Barisan bilangan yang mempunyai ciri seperti itu disebut barisan geometri. Perbandingan antara dua suku berturutan pada barisan geometri disebut rasio.
Contoh-contoh barisan di atas merupakan barisan geometri karena pada masing-masing barisan perbandingan antara setiap suku dengan suku sebelumnya sama nilainya.

Definisi
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai perbandingan tiap dua sukunya yang berurutan sama.
Dengan kata lain, barisan U₁, U₂, U₃, U₄, ... , U_n disebut barisan geometri jika U₂/ U₁ = U₃/U₂ = U₄/U₃ .


Perhatikan kembali contoh di atas.

PEMBAHASAN 1
a. 3, 6, 12, 24, . . .	b. a, a2, a3, a4, a5, . . .	c. py, py2, py3, py4, py5, ....
U1 = 3    U2 = 3 × 21    U3 = 3 × 22    U4 = 3 × 23    ...    Un = 3 × 2n – 1	U1 = a    U2 = a × a1    U3 = a × a2    U4 = a × a3    ...    Un = a × an – 1	U1 = py    U2 = py × y1    U3 = py × y2    U4 = py × y3    ...    Un = py × yn – 1

Pada contoh diatas tampak bahwa, perbandingan setiap dua suku berurutan pada barisan tersebut selalu tetap. Barisan bilangan seperti ini disebut barisan geometri dengan perbandingan setiap dua suku berurutannya dinamakan rasio (r).



INGAT!!!
Pada barisan geometri, berlaku U_n/U_{n – 1} = r sehingga U_n = r.U_{n – 1}


Jadi rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama = a dan rasio r dapat dinyatakan sebagai berikut.

Contoh Soal 1.

Diketahui barisan geometri 4, –8, 16, –32, . . .
a. Tentukan rasionya.
b. Tentukan rumus Un.
c. Tentukan nilai Suku ke-7.

Penyelesaian:

PEMBAHASAN CONTOH SOAL 1
Menentukan Rasio (r)	Menentukan Rumus Un	Menentukan Suku ke-7
Rasio adalah perbandingan antara dua suku berturutan. Sehingga:	Un = a.rn – 1        = 4.(–2)n – 1	Un = a.rn – 1     U7 = 4.(–2)7 – 1        = 4.(–2)6        = 4.(64)        = 256

Contoh Soal 2.

Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri berturut-turut 6 dan 162. Tentukan suku keempatnya.

Penyelesaian:
Pertama-tama tentukan dulu suku pertama (a) dan rasionya (r), setelah itu baru tentukan suku keempatnya dengan rumus Un.

PEMBAHASAN CONTOH SOAL 2
Langkah 1 Menentukan rasio	Langkah 2 Menentukan a	Langkah 3 Menentukan U4
Suku kedua = 6 → ar = 6 Suku kelima = 162           ar4 = 162       ar. r3 = 162         6. r3 = 162             r3 = 27             r3 = 33             r   = 3	ar = 6     a.3 = 6         a = 2	U4   = a.r4 – 1             = 2.33             = 2.27             = 54

Contoh Soal 3.

Tiga bilangan aritmetika membentuk barisan geometri jumlah ketiga bilangan itu 35 dan hasil kalinya 1.000. Tentukan bilangan-bilangan tersebut.

Penyelesaian:

PEMBAHASAN CONTOH SOAL 3
Menetukan nilai a	Menetukan Rasio
Misalkan barisan tersebut adalah: ar– 1, a, ar hasil kalinya 1.000 → ar–1. a. ar = 1000 a3 = 103 a = 10	jumlah ketiga bilangan itu 35 → ar–1 + a + a.r = 35 10r–1 + 10 + 10.r = 35 10 + 10r + 10.r2 = 35r 10.r2 – 15r + 10 = 0 2r2 – 5r + 2 = 0 (2r – 1)(r – 2) = 0 r = 1/2 atau r = 2

Jadi bilangan yang dimaksud adalah 20, 10, 5 atau 5, 10, 20