Cara Mudah Menyelesaikan Soal Barisan dan Deret Aritmatika&Geometri Pada Soal SBMPTN 2018.

Mengingat Soal Barisan dan Deret selalu keluar mewarnai Soal SBMPTN dari tahun ke tahun, Bukan tidak mungkin pada SBMPTN tahun ini pun akan muncul tipe soal barisan dan deret.
Yuk kita intip seperti apa soal barisan dan deret yang senantiasa muncul tiap tahun ini.

1. Soal SPMB 2004

Jumlah suatu deret aritmatika adalah 20. Suku pertama deret tersebut adalah 8 dan bedanya -2. Jika banyaknya suku deret adalah n, maka n adalah ....
A. 4 atau 5
B. 4 atau 6
C. 4 atau 7
D. 5 atau 6
E. 5 atau 7

Penyelesaian
deret aritmatika dengan
S_n = 20
u₁ = 8
b = -2

Sehingga
S_n = 20
S_n = n/2 (2a + (n - 1)b) = 20
n/2 (2.8 + (n - 1).(-2)) = 20 (kedua ruas dikali 2)
n(-2n + 18) = 40
2n² - 18n + 40 = 0
n² - 9n + 20 = 0
(n - 4)(n - 5) = 0
n = 4 atau n = 5

2. Soal SPMB 2005

Jika suku ke-8 deret aritmatika adalah 20, dan jumlah suku ke-2 dan ke-16 adalah 30, maka suku ke-12 deret tersebut adalah ....
A. 5
B. 2
C. 0
D. – 2
E. – 5

Penyelesaian
deret aritmatika dengan Un = a + (n - 1)b.
      U₈ = 20
a + 7b = 20

    U₂   +   U₁₆        = 30
(a + b) + (a + 15b) = 30
    2a    +   16b        = 30
         a +   8b          = 15
         a + 7b + b      = 15
          20      +  b     = 15
                        b     = -5

U₁₂ = a + 11b
      = a + 7b + 4b
      = 20 + 4(-5)
      = 20 - 20
     = 0

3. Soal SPMB 2006

Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatik adalah S_n=3n²-2n. Jika suku ke-n deret ini adalah u_n, maka u₃ + u₅ =....
A. 20
B. 22
C. 38
D. 42
E. 46

Penyelesaian
S_n = 3n² - 2n
S₁ = U₁ = 3.1² - 2.1 = 1
S₂ = 3.2² - 2.2
U₁ + U₂ = 3.4 - 4
1 + U₂ = 8
U₂ = 7

b = U₂ - U₁ = 7 - 1 = 6

U₃ + U₅ = (a + 2b) + (a + 4b)
= 2a + 6b
= 2.1 + 6.6
= 2 + 36
= 38




Kok sepertinya mudah-mudah ya..., tidak jauh beda dengan soal UN.
Eitssss..., jangan salah!!!
Itu hanya beberapa soal yang sengaja saya ambil yang mudah-mudah saja, tapi yang sulit bin njelimet juga banyak. Misalnya pada soal yang akan saya berikan dibawah ini. Namun intinya kalian harus memahami konsep dasar barisan dan deret baik aritmatika maupun geometri. Sehingga..., bagaimanapun bentuk soal yang akan muncul di tahun 2018 ini, kalian akan tetap bisa mengerjakannya dengan mudah.


Berikut adalah beberapa macam soal Ujian masuk perguruan tinggi negeri mulai dari yang tingkat kesulitannya sedang sampai yang rumit...

6. Soal SPMB 2006

Suku tengah suatu deret aritmatika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka banyak suku deret tersebut adalah ……
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
E. 13

Penyelesaian
u_t = 23
u₃ = 13
u_n = 43

u_t = 23 → a + u_n = 2u_t
a + 43 = 2.23
a = 46 - 43
=3

u₃ = 13 → a + 2b = 13
3 + 2b = 13
2b = 10
b = 5

u_n = 43 → a + (n-1)b = 43
3 + (n-1)(5) = 43
3 + 5n - 5 = 43
5n = 45
n = 9

7. Soal SPMB 2006

Jika log⁡(x²) + log⁡(10x² ) + ⋯ + log⁡(10⁹x² ) = 55, maka x = ….
A. 1/10
B. 1/2
C. 1
D. √10
E. 2√10

Penyelesaian
log⁡(x²) + log⁡(10x²) + ⋯ + log⁡(10⁹ x² ) = 55
log⁡(x² ) (10x² )…(10⁹ x² ) = log⁡ 10⁵⁵
10^(1+2+⋯+9) x²⁰ = 10⁵⁵
10⁴⁵ x²⁰ = 10⁵⁵
x²⁰ = 10¹⁰
x = √10

8. Soal SPMB 2006

Jika suku ke-n suatu deret adalah u_n = 2^(2x-n) , maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah ….
A. 2^(2x-2)
B. 2^(2x-1)
C. 2^2x
D. 2^(2x+1)
E. 2^(2x+2)

Penyelesaian
u_n = 2^(2x-n)
u₁ = 2^(2x-1)
u₂ = 2^(2x-2)

9. Soal SPMB 2006

Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama a mempunyai jumlah 2, maka a memenuhi….
A. -2 < a < 0
B. -4 < a < 0
C. 0 < a < 2
D. 0 < a < 4
E. -4 < a < 4

Penyelesaian
deret geometri tak hingga
suku pertama = a
S_~ = 2

a = 2 - 2r
2r = 2 - a

Agar deret geometri memiliki jumlah, maka:
-1 < r < 1
-2 < 2r < 2
-2 < 2-a < 2
-4 < -a < 0
0 < a < 4

10. Soal SPMB 2004

Pada saat awal diamati 8 virus jenis tertentu, setiap 24 jam masing-masing membelah diri menjadi dua. Jika setiap 96 jam seperempat dari seluruh virus dibunuh, maka banyaknya virus pada hari ke-6 adalah ....
A. 96
B. 128
C. 192
D. 224
E. 256

Penyelesaian
Silahkan dicoba dulu ya, klo ada kesulitan silahkan komentar di kolom bawah

11. Soal SPMB 2007

Suku ke-3 suatu deret aritmatika adalah 11 dan suku terakhirnya 23. Jika suku tengah deretnya adalah 14, maka jumlah semua suku deret adalah
A. 90
B. 98
C. 100
D. 102
E. 110

Penyelesaian
Silahkan dicoba dulu ya, klo ada kesulitan silahkan komentar di kolom bawah

Pembahasan Soal Komposisi FUngsi yang sering keluar pada Soal UN.

Soal 1 - UN Matematika 2012

Diketahui fungsi f(x) = 3x − 1 dan g(x)=2x²-3. Komposisi fungsi (g o f )(x) = ....
A. 9x²-3x+1
B. 9x²-6x+3
C. 9x²-6x+6
D. 18 x²-12x-2
E. 18x²-12x-1

Penyelesaian:
f(x) = 3x − 1 dan g(x)=2x²-3
(g o f )(x) = g( f(x) )
= g(3x - 1)
= 2(3x - 1)² - 3
= 2(9x² - 6x + 1) - 3
= 18x² - 12x - 1

Soal 1 - UN Matematika 2012

Diketahui fungsi f(x) = x + 3 dan g(x) = x²-2x-1. Komposisi fungsi (fog)(x) = ....
A. x²-2x+2
B. x²+2x-2
C. x²+4x+2
D. x²-4x+2
E. x²-4x-2

Penyelesaian:
f(x) = x + 3 dan g(x) = x²-2x-1
= f( g(x) )
= f(x²-2x-1)
= x²-2x-1 + 3
= x²-2x+2

Soal 1 - UN Matematika 2012

Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x²-2x+8. Komposisi fungsi (gof)(x) = ....
A. 4x²+7
B. (4x)²-7
C. (2x)²+4x-17
D. 2x²-4x+17
E. 2x²-4x-17

Penyelesaian:
f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x²-2x+8
(g o f )(x) = g( f(x) )
= g(2x + 1)
= (2x + 1)² - 2(2x + 1) + 8
= (4x² + 4x + 1) - 4x - 2 + 8
= 4x² + 7




Kumpulan Soal UN SMA 2012.

1. Fungsi Eksponen

Bentuk aⁿ disebuat sebagai bentuk eksponensial atau perpangkatan, dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat. Sifat – sifat yang berlaku dalam bilangan berpangkat rasional diantaranya adalah sebagai berikut :




Perhatikan contoh soal berikut :
Hitunglah hasil perpangkatan (0,008)^–2
jawab :
(0,008)^–2 = (1/125)^–2
= (1/5³)^–2
= (5^–3)^–2
= 5⁶ = 15.625

2. Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah suatu persamaan yang pangkatnya (eksponen), bilangan pokoknya, atau bilangan pokok dan eksponennya memuat suatu variabel.

Bentuk-bentuk persamaan eksponen yang akan kita bahas yaitu

a. Bentuk persamaan a^f(x) = 1

Misal terdapat persamaan a^f(x) = 1 dengan a>0 dan a≠1, untuk menentukan himpunan penyelesaian bentuk persamaan tersebut gunakan sifat bahwa :

a^f(x) = 1 ⇔ f(x)=0

b. Bentuk persamaan a^f(x) = a^p

Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = a^p, dengan a>0 dan a≠1. Himpunan penyelesaian bentuk persamaan eksponen diatas ditentukan dengan cara menyamakan pangkat ruas kiri dengan ruas kanan.

a^f(x) = a^p ⇔ f(x) = p

c. Bentuk persamaan a^f(x) = a^g(x)

Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = a^g(x) dengan a>0 dan a≠1. Himpunan penyelesaian persamaan diatas dapat ditentukan dengan cara menyamakan persamaan pangkatnya. Jadi dapat kita katakan sebagai berikut :

a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x)

d. Bentuk Persamaan a^f(x) = b^f(x)

Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = b^f(x), dengan a≠b ;a,b >0 ; a,b ≠1. Himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut dapat ditentukan dengan cara menyamakan f(x) dengan nol. Jadi dapat disimpulkan sebagai berikut :

a^f(x) = b^f(x) ⇔ f(x) = 0

e. Bentuk persamaan a^f(x) = b^g(x)

Misalkan diberikan persamaan a^f(x) = b^g(x) dengan a≤b ; a,b >0 ; a,b ≠1, dan f(x) ≠ g(x). Himpunan penyelesaian untuk bentuk persamaan eksponen tersebut dengan melogaritmakan kedua ruas, yaitu :

log a^f(x) = log b^g(x)

f. Bentuk Persamaan A{a^f(x)}² + B{a^f(x)}+ C = 0

Untuk menentukan penyelesaian persamaan eksponen yang berbentuk persamaan kuadrat dapat dikerjakan dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna atau rumus abc.

g. Bntuk persamaan f(x)^g(x) = 1 ; f(x)≠g(x)

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen dengan bentuk tersebut, lakukanlah langkah-langkah berikut :
1). g(x)=0 karena ruas kanan nilainya 1 berarti g(x) harus sama dengan nol.
2). f(x)=1 karena jika f(x)=1 maka bilangan 1 dipangkatkan berapapun nilainya 1.
3). f(x)=-1, dengan syarat g(x) harus genap.

h. Bentuk persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x)

Untuk nilai g(x) ≠ h(x). Himpunan penyelesaian bentuk eksponen tersebut diperoleh dari empat kemungkinan berikut :
1). g(x)=h(x) karena bilangan pokok sudah sama maka pangkatnya harus sama.
2). f(x)=1 karena g9x) ≠ h(x) maka bilangan pokok harus bernilai 1 (satu) agar persamaan bernilai benar.
3). f(x)=-1, bewrakibat g(x) dan h(x) harus sama-sama bernilai genap atau sama-sama bernilai ganjil.
4). f(x)=0, dengan g(x) dan h(x) masing-masing bernilai positif dituliskan g(x)>0 atau h(x)>0.

i. Bnetuk persamaan g(x)^f(x) = h(x)^f(x)

persamaan diatas akan bernilai benar jika
a. f(x)=0 untuk g(x)≠0 dan h(x)≠0 ;
b. g(x)=h(x)

3. Fungsi Logaritma

Bentuk eksponen atau perpangkatan dapat kita tulis dalam bentuk logaritma. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut :

Jika ab = c dengan a > 0 dan a ≠ 1 maka alog c = b dalam hal ini a disebut basis atau pokok logaritma dan c merupakan bilangan yang dilogaritmakan. Logaritma memuliki sifat-sifat sebagai berikut :

sifat log

3.1 Bentuk umum dari fungsi logaritma yaitu Jika ay = x dengan a ≥0 dan a ≠ 1 maka y =alog x

mempunyai sifat-sifat :

semua x > 0 terdefinisi
jika x mendekati no maka nilai y besar sekali dan positif
untuk x=1 maka y=o
untuk x > 1 maka y negatif sehingga jika nilai x semakin besar maka nilai y semakin kecil.


3.2. Grafik Fungsi y =alog x untuk a >0

mempunyai sifat – sifat sebagai berikut :

untuk semua x > 0 terdefinisi
jika x mendekati no maka y kecil sekali dan negatif
untuk x=1 maka y=0
untuk x > 1 maka y positif sehingga jika x semakin besar maka y semakin besar.
Berikut ini gambar grafiknya :

grafik eksponen














Itulah penjelasan tentang Materi Lengkap Fungsi Eksponen dan Logaritma semoga dapat bermanfaat, dan jangan lupa baca juga materi yang lain seperti Operasi Hitung Pada Pecahan atau Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima.

Trik Mudah Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk Persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x) - Pada postingan sebelumnya kita telah mempelajari macam-macam bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1, bentuk a^f(x) = a^p, bentuk a^f(x) = a^g(x) dan bentuk a^f(x) = b^f(x).

Postingan kali ini masih seputar cara menyelesaikan Persamaan Eksponen. Sengaja saya bahas secara terpisah, agar adik-adik dapat lebih mudah memahami perbedaannya.
Jika kemarin adik-adik sudah memahami cara menyelesaikan persamaan eksponen f(x)^g(x) = 1 ; dengan f(x)≠g(x) . Kali ini kita akan mempelajari cara menyelesaikan persamaan eksponen yang berbentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x).
Bagaimana ya caranya???
Kok kelihatannya Tambah Rumit... Tambah Sulit... Bin Njelimet ya...??
Upssss..., Jangan khawatir adek-adek pasti bisa kok, yang penting adek-adek rajin mencoba dan latihan. Klo cuma baca dan melihat saja, ya pasti bakalan terasa susah. Percaya dehhh, kalian pasti BISA!!


Nahhhh... kita mulai saja ya. Simak baik-baik penjelasan berikut ini. Dannnn.... seperti biasa, jangan lupa bawa pensil dan kertas untuk mencoba setiap soal yang akan kakak bahas berikut. Karena dengan membaca dan melihat saja tidak akan membuat kalian jadi memahami materi ini.
Oke... SIMAK YA!!



Yang perlu diIngat!!!




Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen x^{6x – x2} = x^4x.

Penyelesaian:
     x^{6x – x2}    = x^4x

Kita analisa bentuk persamaan eksponennya terlebih dahulu. Dari persamaan diketahui bahwa:
f(x) = x
g(x) = 6x – x²
h(x) = 4x

PEMBAHASAN CONTOH 1
1.	g(x) = h(x)
	6x – x2 = 4x x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 0 dan x = 2	Untuk x = 0, pangkat di ruas kiri yaitu g(x) dan pangkat diruas kanan yaitu h(x) akan bernilai 0, sehingga x = 0 bukan penyelesaian
2.	f(x) = 1
	x = 1
3.	f(x) = –1	syarat g(x) dan h(x) harus sama-sama genap atau ganjil
	x = –1	Untuk x = –1, nilai g(x) = 6x – x2 = 6(–1) – (–1)2 = –7 (ganjil) dan h(x) = 4x = 4(–1) = –4 (genap). karena g(x) dan h(x) tidak sama-sama genap atau sama-sama ganjil maka x = –1 bukan penyelesaian
4.	f(x) = 0	syarat g(x)>0 dan h(x)>0
	x = 0	Untuk x = 0, nilai g(x) = 6x – x2 = 6(0) – (0)2 = 0, maka x = 0 bukan penyelesaian

Jadi penyelesaian dari persamaan x^{6x – x2}    = x^4x adalah x = 1 dan x = 2.

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen (x – 2)^{x2 + 3x} = (x – 2)^{2x + 6}.

Penyelesaian:
Kita analisa bentuk persamaan eksponennya terlebih dahulu.
Persamaan (x – 2)^{x2 + 3x} = (x – 2)^{2x + 6} merupakan persamaan eksponen bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x) dengan :
f(x) = x – 2
g(x) = x² + 3x
h(x) = 2x + 6

PEMBAHASAN CONTOH 2
1.	g(x) = h(x)
	x2 + 3x = 2x + 6 x2 + x – 6 = 0 (x + 3)(x – 2) = 0 x = – 3 dan x = 2
2.	f(x) = 1
	x – 2 = 1         x = 3
3.	f(x) = –1	syarat g(x) dan h(x) harus sama-sama genap atau ganjil
	x – 2 = –1        x = –1 + 2        x = 1	Untuk x = 1, nilai g(x) = x2 + 3x = (1)2 + 3(1) = 4 (genap) dan h(x) = 2x + 6 = 2(1) + 6 = 8 (genap). karena g(x) dan h(x) sama-sama genap maka x = 1 merupakan penyelesaian
4.	f(x) = 0	syarat g(x)>0 dan h(x)>0
	x – 2 = 0         x = 2	Untuk x = 2, nilai g(x) = x2 + 3x = (2)2 + 3(2) = 4 + 6 = 10 dan h(x) = 2x + 6 = 2(2) + 6 = 10, maka x = 2 merupakan penyelesaian

Jadi penyelesaian dari persamaan (x – 2)^{x2 + 3x} = (x – 2)^{2x + 6} adalah x = – 3, x = 1, x = 2 dan x = 3.

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen (x² + 3x – 4)^{x2 + 3x} = (x² + 3x – 4)^{2x + 6}.

Penyelesaian:

Untuk contoh 3, silahkan dicoba dulu ya...
Jika kesulitan silahkan isi komenter dibawah.
Terima kasih








⇔

Baca Juga :

Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^g(x)

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk Persamaan A{a^f(x)}² + B{a^f(x)}+ C = 0 - Pada postingan sebelumnya kita telah mempelajari macam-macam bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1, bentuk a^f(x) = a^p, bentuk a^f(x) = a^g(x) dan bentuk a^f(x) = b^f(x).

Postingan kali ini masih seputar cara menyelesaikan Persamaan Eksponen. Sengaja saya bahas secara terpisah, agar adik-adik dapat lebih mudah memahami perbedaannya.
Jika kemarin adik-adik sudah memahami cara menyelesaikan persamaan eksponen a^f(x) = b^g(x), yaitu persamaan eksponen yang memiliki bilangan pokok dan pangkat yang berbeda. Kali ini kita akan mempelajari cara menyelesaikan persamaan eksponen yang berbentuk persamaan kuadrat..
Bagaimana ya caranya???
Kebayang tidak adek-adek??


Nahhhh... kita mulai saja ya. Simak baik-baik penjelasan berikut ini. Dannnn.... seperti biasa, jangan lupa bawa pensil dan kertas untuk mencoba setiap soal yang akan kakak bahas berikut. Karena dengan membaca dan melihat saja tidak akan membuat kalian jadi memahami materi ini.
Oke... SIMAK YA!!



Yang perlu diIngat!!!





Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen 2^2x – 3 . 2^{x + 2} + 32 = 0.

Penyelesaian:
     2^2x    – 3 . 2^{x + 2}  + 32 = 0
⇔ (2^x)² – 3 . 2² . 2^x + 32 = 0
⇔ (2^x)² –   12 . 2^x    + 32 = 0
Misalkan : y = 2^x, maka persamaan (2^x)² – 12 . 2^x + 32 = 0 akan menjadi
      y² – 12y + 32 = 0
⇔   (y – 4)(y – 8) = 0
⇔  y – 4 = 0       y – 8 = 0
⇔        y = 4             y = 8

Ingat, tadi kita memisalkan y = 2^x, maka
Untuk y = 4 ⇔ 2^x = 4 ⇔ x = 2
Untuk y = 8 ⇔ 2^x = 8 ⇔ x = 3

Jadi penyelesaian dari persamaan 2^2x – 3 . 2^{x + 2} + 32 = 0 adalah x = 2 dan x = 3

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen 2^2x – 2^{x + 1} – 8 = 0.

Penyelesaian:
        2^2x – 2^{x + 1} – 8 = 0.
⇔ (2^x)² – 2¹ . 2^x – 8 = 0
⇔ (2^x)² – 2 . 2^x  – 8 = 0
Misalkan : y = 2^x, maka persamaan (2^x)² – 2 . 2^x – 8 = 0 akan menjadi
       y² – 2y – 8 = 0
⇔   (y – 2)(y + 4) = 0
⇔  y – 2 = 0       y + 4 = 0
⇔        y = 2             y = –4 (TM)

Ingat, tadi kita memisalkan y = 2^x, maka
Untuk y = 2 ⇔ 2^x = 2 ⇔ x = 1

Jadi penyelesaian dari persamaan 2^2x – 2^{x + 1} – 8 = 0 adalah x = 1.

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen 3^x – 45 . 3^–x – 4 = 0.

Penyelesaian:
        3^x – 45 . 3^–x – 4 = 0.      (masing-masing dikalikan 3^x )
⇔ (3^x)² – 45 – 4 . 3^x  = 0
⇔ (3^x)² – 4 . 3^x  – 45 = 0
Misalkan : y = 3^x, maka persamaan (3^x)² – 4 . 2^x – 45 = 0 akan menjadi
       y² – 4y – 45 = 0
⇔   (y – 9)(y + 5) = 0
⇔  y – 9 = 0       y + 5 = 0
⇔        y = 9             y = –5 (TM)

Ingat, tadi kita memisalkan y = 3^x, maka
Untuk y = 9 ⇔ 3^x = 9 ⇔ x = 2

Jadi penyelesaian dari persamaan 3^x – 45 . 3^–x – 4 = 0 adalah x = 2.

Baca Juga :

Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^g(x)

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = b^g(x) dengan MUDAH - Pada postingan sebelumnya kita telah mempelajari macam-macam bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1, bentuk a^f(x) = a^p, bentuk a^f(x) = a^g(x) dan bentuk a^f(x) = b^f(x).

Postingan kali ini masih seputar cara menyelesaikan Persamaan Eksponen. Sengaja saya bahas secara terpisah, agar adik-adik dapat lebih mudah memahami perbedaannya.
Jika kemarin adik-adik sudah memahami cara menyelesaikan persamaan eksponen a^f(x) = b^f(x), yaitu persamaan eksponen yang memiliki bilangan pokok yang berbeda namun pangkatnya sama. Kali ini kita akan mempelajari cara menyelesaikan persamaan eksponen yang bilangan pokok dan pangkatnya berbeda atau tidak sama (a^f(x) = b^f(x)).
Bagaimana ya caranya???
Kebayang tidak adek-adek??


Nahhhh... kita mulai saja ya. Simak baik-baik penjelasan berikut ini. Dannnn.... seperti biasa, jangan lupa bawa pensil dan kertas untuk mencoba setiap soal yang akan kakak bahas berikut. Karena dengan membaca dan melihat saja tidak akan membuat kalian jadi memahami materi ini.
Oke... SIMAK YA!!



Yang perlu diIngat!!!





Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan nilai x jika 3^{x – 1} = 2^{x + 4}.

Penyelesaian:

PEMBAHASAN  CONTOH1
Cara 1	Cara 2
3x – 1 = 2x + 4 ⇔      log 3x – 1       = log 2x + 4 ⇔      (x – 1) log 3  = (x + 4) log 2 ⇔    x log 3 – log 3 = x log 2 + 4 log 2 ⇔ x log 3 – x log 2 = 4 log 2 + log 3 ⇔ x (log 3 – log 2) = log 24 + log 3 ⇔          x (log 3/2) = log 16.3 ⇔                         x = 3/2 log 48	3x – 1 = 2x + 4 ⇔   3x.3–1 = 2x.24 ⇔     3x/2x = 24/3–1 ⇔    (3/2)x = 16.3 ⇔    (3/2)x = 48 ⇔            x = 3/2 log 48

Contoh 2:

Tentukan nilai x jika 3^{x + 2} = 4^{x – 1}.

Penyelesaian:

PEMBAHASAN CONTOH 2
Cara 1	Cara 2
3x + 2 = 4x – 1 ⇔      log 3x + 2       = log 4x – 1 ⇔      (x + 2) log 3  = (x – 1) log 4 ⇔    x log 3 + 2 log 3 = x log 4 – log 4 ⇔ x log 3 – x log 4 = –2 log 3 – log 4 ⇔ x (log 3 – log 4) = log 3–2 – log 4 ⇔          x (log 3/4) = log 1/36 ⇔                         x = 3/4 log 1/36 ⇔                         x = 4/3 log 36	3x + 2 = 4x – 1 ⇔   3x.32 = 4x.4–1 ⇔     3x/4x = 4–1.3–2 ⇔    (3/4)x = 1/(4.9) ⇔    (3/4)x = 1/36 ⇔    (4/3)x = 36/1 ⇔            x = 4/3 log 36

Contoh 3:

Jika 3^{2x + 3} = 4 maka nilai x = .....

Silahkan contoh ketiganya dicoba dulu ya...., jika ada kesulitan silahkan komentar dibawah.

Baca Juga :

Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^g(x)

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = b^f(x) - Pada postingan sebelumnya kita telah mempelajari macam-macam bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1, bentuk a^f(x) = a^p dan bentuk a^f(x) = a^g(x).
Jika kemarin adik-adik sudah memahami cara menyelesaikan persamaan eksponen a^f(x) = a^g(x), yaitu persamaan eksponen yang memiliki bilangan pokok yang sama namun pangkatnya berbeda. Lalu bagaimana ya jika dibalik?? persamaan eksponennya yang memiliki bilangan pokok yang berbeda namun pangkatnya sama (a^f(x) = b^f(x)).
Bagaimana ya caranya???
Kebayang tidak adek-adek??


Nahhhh... kita mulai saja ya. Simak baik-baik penjelasan berikut ini. Dannnn.... seperti biasa, jangan lupa bawa pensil dan kertas untuk mencoba setiap soal yang akan kakak bahas berikut. Karena dengan membaca dan melihat saja tidak akan membuat kalian jadi memahami materi ini.
Oke... SIMAK YA!!



Yang perlu diIngat!!!



Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan nilai x jika 3^{2x + 1} = 2^{2x + 1}.

Penyelesaian:
     3^{2x + 1} = 2^{2x + 1}
⇔ 2x + 1 = 0
⇔       2x = – 1
⇔         x = – 1/2
⇔         x = – 0,5

Contoh 2:

Tentukan nilai x jika 5^{3x – 6} = 9^{3x – 6}.

Penyelesaian:
        5^{3x – 6} = 9^{3x – 6}
⇔    3x – 6 = 0
⇔          3x = 6
⇔          3x = 6
⇔            x = 6/3
⇔            x = 2

Contoh 3:

Jika 2^{2x + 10} = 9^{x + 5} maka nilai x = .....

Penyelesaian:
       2^{2x + 10} = 9^{x + 5}
⇔   2^{2x + 10} = 9^{x + 5}
⇔   2^{2(x + 5)} = 9^{x + 5}
⇔       4^{x + 5} = 9^{x + 5}
⇔        x + 5 = 0
⇔               x = –5

Baca Juga :

Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^g(x)

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^g(x) - Pada postingan sebelumnya kita telah mempelajari macam-macam bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1 dan bentuk a^f(x) = a^p.
Jika kemarin adik-adik sudah memahami cara menyelesaikan persamaan eksponen a^f(x) = a^p, maka akan lebih mudah untuk memahami cara menyelesaikan persamaan eksponen a^f(x) = a^g(x) ini.
Lalu bagaimana caranya???
Nahhhh... kita mulai saja ya. Simak baik-baik penjelasan berikut ini. Dannnn.... jangan lupa bawa pensil dan kertas untuk mencoba setiap soal yang akan kakak bahas berikut. Karena dengan membaca dan melihat saja tidak akan membuat kalian jadi memahami materi ini.
Oke... SIMAK YA!!



Yang perlu diIngat!!!



Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan nilai x jika 2^{2x + 1} = 2^{x + 5}.

Penyelesaian:
     2^{2x + 1} = 2^{x + 5}
⇔ 2x + 1 = x + 5
⇔ 2x – x = 5 – 1
⇔         x = 4

Contoh 2:

Tentukan nilai x jika 5^{4x – 3} = 5^{2x + 7}.

Penyelesaian:
        5^{4x – 3} = 5^{2x + 7}
⇔    4x – 3 = 2x + 7
⇔  4x – 2x = 7 + 3
⇔          2x = 10
⇔            x = 10/2
⇔            x = 5

Contoh 3:

Jika 3^{2x + 5} = 9^{2x – 1} maka nilai x = .....

Penyelesaian:
       3^{2x + 5} = (3²)^{2x – 1}
⇔   3^{2x + 5} = 3^{4x – 2}
⇔   2x + 5 = 4x – 2
⇔ 2x – 4x = –2 – 5
⇔       –2x = –7
⇔           x = (–7)/(–2)
⇔           x = 3,5

Baca Juga :

Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p - Pada postingan sebelumnya kita telah mempelajari macam-macam bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1. Kali ini kita akan membahas dengan lebih mendalam cara menyelasaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p pada berbagai macam soal, sehingga adik-adik dapat memahami bentuk persamaan eksponen ini.


Ingat!!!
Jika terdapat persamaan a^f(x) = a^p, dengan a>0 dan a≠1. Himpunan penyelesaian bentuk persamaan eksponen diatas ditentukan dengan cara menyamakan pangkat ruas kiri dengan ruas kanan.

a^f(x) = a^p ⇔ f(x) = p


Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan nilai x jika 2^x = 8.

Penyelesaian:
     2^x = 8
⇔ 2^x = 2³
⇔   x = 3

Contoh 2:

Tentukan nilai x jika 0,5^{x + 1} = 4.

Penyelesaian:
        0,5^{x + 1} = 4
⇔  (1/2)^{x + 1} = 2²
⇔  (2^–1)^{x + 1} = 2²
⇔       2^{–x – 1} = 2²
⇔       –x – 1 = 2
⇔               x = 2 – 1
⇔               x = 1

Contoh 3:

Jika 9^{2x – 3} = 27 maka nilai x = .....

Penyelesaian:
         9^{2x – 3} = 27
⇔ (3²)^{2x – 3} = 3³
⇔     3^{4x – 6} = 3³
⇔     4x – 6 = 3
⇔           4x = 3 + 6
⇔           4x = 9
⇔             x = 9/4
⇔             x = 2,25

Baca Juga :

Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1 - Seperti yang telah dibahas pada postingan sebelumnya, bahwa salah satu bentuk persamaan eksponen adalah a^f(x) = 1. Kali ini kita akan membahas dengan lebih mendalam cara menyelasaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1 pada berbagai macam soal, sehingga adik-adik dapat memahami bentuk persamaan eksponen ini.


Ingat!!!
Jika terdapat persamaan a^f(x) = 1 dengan a>0 dan a≠1, untuk menentukan himpunan penyelesaian bentuk persamaan tersebut gunakan sifat :

a^f(x) = 1 ⇔ f(x)=0


Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan nilai x jika 2^x = 1.

Penyelesaian:
  2^x = 1
⇔ x = 0

Contoh 2:

Tentukan nilai x jika 0,5^{x + 3} = 1.

Penyelesaian:
    0,5^{x + 3} = 1
⇔    x + 3 = 0
⇔          x = -3

Contoh 3:

Jika 3^{2x + 6} = 1 maka nilai x = .....

Penyelesaian:
   3^{2x + 6} = 1
⇔ 2x + 6 = 0
⇔       2x = –6
⇔         x = –6/3
⇔         x = –2

Contoh 4:

Jika 2^{x – 5} = 1 maka nilai x = .....

Penyelesaian:
    2^{x – 5} = 1
⇔ x – 5 = 0
⇔      x = 5

Contoh 5:

Tentukanlah peyelesaian dari persamaan eksponen 2^{x2 – 2x – 3} = 1 maka nilai x = .....

Penyelesaian:
    2^{x2 – 2x – 3} = 1
⇔   x² – 2x – 3   = 0
⇔ (x + 1)(x – 3) = 0
⇔ x + 1 = 0       x – 3 = 0
⇔       x = –1           x = 3

Baca Juga:

Cara mudah menyelasaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p
Ringkasan Materi Fungsi Eksponen dan Logaritma

Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma dengan Bilangan Pokok a > 1

fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah dua fungsi yang saling invers. Untuk memahami sifat-sifat kedua fungsi tersebut, pada bab ini kita akan menggambar grafik kedua fungsi itu. Sekarang, coba gambar grafik fungsi f(x) = 2^x dan inversnya, yaitu g(x) = ²log x log x dalam satu sumbu koordinat.
Untuk memudahkan menggambar kedua grafik fungsi ini, terlebih dahulu buatlah tabel nilai-nilai x dan f(x) = 2^x

Setelah itu, gambarkan titik-titik tersebut pada koordinat Cartesius. Lalu hubungkan titik-titik tersebut dengan garis membentuk kurva mulus, sehingga diperoleh grafik f(x) = 2^x.

. Grafik yang kalian dapatkan ini, cerminkan terhadap garis y = x
sehingga kalian mendapatkan grafik fungsi inversnya, yaitu g(x) = ²log x

Dengan memperhatikan grafik fungsi f(x) = 2^x dan g(x) = ²log x yang masing-masing merupakan grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 2, kalian dapat mengetahui bahwa:

PEMBAHASAN 1
No.	Fungsi f(x) = 2x	Fungsi g(x) = 2log x
1.	Daerah asalnya {x | x ∈ R}	Daerah asalnya {x | x > 0, x ∈ R}
2.	Daerah hasilnya {y | y > 0, y ∈ R}	Daerah hasilnya {y | y ∈ R}
3.	Sumbu-x asimtot datar	Sumbu y asimtot tegak
4.	Grafik di atas sumbu-x	Grafik di sebelah kanan sumbu-y
5.	Memotong sumbu-y di titik (0, 1)	Memotong sumbu-x di titik (1, 0)
	Merupakan fungsi naik untuk setiap x	Merupakan fungsi naik untuk setiap x

Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau e^x, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183.


Fungsi eksponensial terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif.
Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik e^x selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif.

Secara umum, variabel x dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, ataupun objek matematika yang lain; lihat definisi formal di bawah ini.

Dengan menggunakan logaritma natural, fungsi eksponensial yang lebih generik dapat didefinisikan. Fungsi a^x = e^{x ln a} yang terdefinisikan untuk a > 0, dan semua bilangan real x, disebut juga fungsi eksponensial dengan basis a.

Perlu diperhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku pula untuk a = e, karena
e^{x ln e} = e^x.1 = e^x

Fungsi eksponensial dapat "menterjemahkan" antara dua macam operasi, penjumlahan dan pengkalian. Ini dapat dilihat dari rumus-rumus eksponen sebagai berikut:



Rumus-rumus di atas berlaku untuk semua bilangan real positif a dan b dan semua bilangan real x dan y. Ekspresi yang mengandung pecahan dan pengakaran pada umumnya dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi eksponensial, karena:

dan, untuk semua a > 0, bilangan real b, dan bilangan bulat n > 1:

Turunan dan persamaan diferensial pada Fungsi Eksponensial

Pentingnya fungsi eksponensial dalam matematika dan ilmu-ilmu lainnya adalah karena sifat turunannya.


Dengan kata lain, fungsi ex jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri. Sifat "ketidakmempanan untuk diturunkan" ini sangat unik, karena hanya fungsi inilah yang mempunyai sifat seperti ini. Sifat fungsi Eksponensial ini dapat diinterpretasikan sebagai berikut:

• Kemiringan (gradien) grafik fungsi ini pada semua titiknya sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut.
• Bertambahnya nilai fungsi pada x sama dengan nilai fungsi pada x
• Fungsi ini merupakan solusi dari persamaan diferensial y'= y .
• Dalam ilmu-ilmu terapan, banyak persamaan diferensial yang menghasilkan fungsi eksponensial, antara lain persamaan Schrödinger, persamaan Laplace, dan persamaan untuk gerakan harmonis sederhana.

Untuk fungsi eksponensial dengan basis-basis lain (yang bukan e):


jadi, semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.

Definisi formal Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial e^x dapat didefinisikan menurut beberapa definisi yang ekivalen, sebagai deret tak terhingga. Beberapa definisi tersebut antara lain:


atau sebagai limit berikut ini:


Dalam definisi di atas, n! adalah faktorial dari n, dan x dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks, ataupun konsep-konsep matematika lainnya yang kompleks, seperti matriks bujursangkar.

Nilai numerik dari Fungsi eksponensial

Untuk mendapatkan nilai numerik dari fungsi eksponensial, deret tak terhingga di atas dapat ditulis menjadi:



Jika x lebih kecil dari 1, maka ekspresi di atas akan menemukan nilai numerik fungsi pada titik yang dicari dengan cepat.

Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal 1
Di sebuah kabupaten, jumlah penduduk pada 1 Januari 2008 adalah 50.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk di kabupaten itu 10% per tahun, hitunglah jumlah penduduk di kabupaten itu pada 1 Januari 2018.

Penyelesaian:
Langkah 1
Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.
Diketahui:


Ditanyakan: Jumlah penduduk pada 1 Januari 2018.
Langkah 2
Membuat model matematika dari masalah tersebut.
Misalkan, jumlah penduduk pada 1 Januari 2008 adalah
U
= 50.000 maka diperoleh model berikut.
= 50.000 + 0,1(50.000) (gunakan sifat distributif)
= 50.000 (1 + 0,1)
= 1,1 × 50.000

= 1,1 × 50.000 + 0,1(1,1 × 50.000) (gunakan sifat

= 1,1 × 50.000 (1 + 0,1)


Contoh Soal 2
Suatu deret geometri memiliki suku ketujuh 64 dan suku kesepuluh 512. Tentukan rasio (r), suku kelima (U5), dan jumlah delapan suku pertamanya (S8).
Jawab:
Diketahui U7 = 64 dan U10 = 512.
U₇ = 64 → ar⁶ = 64 .... (1)
U₁₀ → ar⁹ = 512 .....(2)

Subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), diperoleh
ar⁹ = 512
ar⁶ . r³ = 512
64 . r³ = 512
r³ = 8
r = 2
Jadi, rasio deret geometri tersebut adalah 2.

• Dari persamaan (1) diperoleh :
ar⁶ = 64
a . 2⁶ = 64
a = 1
Diperoleh a = 1, sehingga
U₅ = ar⁴
= 1.2⁴
= 16
Jadi, suku kelimanya adalah 16.



Jadi, jumlah delapan suku pertamanya adalah 255

Contoh Soal 3
Di suatu desa, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2007 adalah 10.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk di desa tersebut 5% per tahun, tentukan jumlah penduduk di desa tersebut pada tanggal 1 Januari 2011.
Jawab:
Misalkan, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2007 (U1) adalah 10.000 dan tingkat pertumbuhan penduduk (r) adalah 5 % = 0,05.
• Jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2008 adalah
U2 = 10.000 + (10.000 × 0,05) = 10.500 jiwa
• Jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2009 adalah
U3 = 10.500 + (10.500 × 0,05) = 11.020 jiwa
dan seterusnya hingga diperoleh barisan sebagai berikut: 10.000, 10.500, 11.025, ...
sehingga a = 10.000
dan
r = 10500/10000 = 1,05

U₅ = ar⁴
= 1.(1,05)⁴
= 12155,0625
Jadi, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2011 adalah 12.155 jiwa

Contoh Soal 4
Diketahui suatu barisan : x + 2, 9, x + 26. Tentukanlah nilai x agar barisan tersebut dapat disusun menjadi sebuah deret geometri.

Jawab:
Diketahui bahwa :
U₁ = x + 2
U₂ = 9
U₃ = x + 26
Dengan menggunakan sifat dasar deret geometri maka : (Lihat macam-macam SIfat dasar deret Geometri)
U₂ ² = U₁ . U₃
9² = (x + 2) (x + 26)
81 = x² + 28x – 52
0 = x² + 28x – 29
0 = (x – 1)(x + 29)
x = 1 atau x = –29
Jadi, nilai x = 1 atau x = –29


Contoh Soal 5
Dari suatu geometri, diketahui suku keenamnya 32 dan suku kesembilannya 256.
Tentukan:
a. rasio dari deret tersebut,
b. suku ketiga (U3) dari deret tersebut.
Jawab:
Diketahui: U₆ = 32 dan U₉ = 256
U₆ . r³ = U₉
32 . r³ = 256
r³ = 8
r = 2
Jadi, rasio deret tersebut adalah 2.


U₃ . r³ = U₆
U₃ . 2³ = 32
U³ . 8 = 32
U₃ = 4
Jadi, suku ketiga deret tersebut adalah 4

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan |r| < 1. Jumlah S dari deret geometri tak hingga adalah

Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga.
Adapun untuk n tak terhingga terdapat dua kasus yang harus kalian perhatikan, yaitu:
Kasus 1
Jika –1 < r < 1, maka rⁿ menuju 0. Akibatnya:

Deret geometri dengan –1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat).

Kasus 2
Jika r < –1 atau r > 1, maka untuk n → ∞, nilai rⁿ makin besar.
Untuk r < –1, n → ∞ dengan n ganjil didapat rⁿ → –∞
Untuk r < –1, n → ∞ dengan n genap didapat rⁿ → ∞
Untuk r > 1, n → ∞ didapat rⁿ → ∞
Akibatnya,


Deret geometri dengan r < –1 atau r > 1 ini disebut deret geometri divergen (memencar)

Contoh Soal 1
1. Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut!
Jawab:
U₂ = 8, berarti ar = 8
U₅ = 64, berarti: ar⁴ = 64
ar.r³ = 64
8.r³ = 64
r³ = 64
r = 2

Dengan mensubstitusi r = 2 ke persamaan ar = 8, kalian mendapatkan
ar = 8
a.2 = 8
sehingga a = 4.
Jumlah n suku pertama deret ini adalah


Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah
S₁₀ = 4(2¹⁰ – 1)
= 4(1024 – 1)
= 4(1023)
= 4092

Contoh Soal 2
Tentukanlah nilai x agar deret geometri
1 + x + x² + x³ + ... konvergen.
Jawab:
Tentukan rasio dari deret tersebut terlebih dahulu.
r = x/1 = x
Agar deret geometri tersebut konvergen, haruslah –1 < r < 1 sehingga –1 < x < 1.


Contoh Soal 3
Niko Sentera memotong seutas tali menjadi 5 potong. Panjang kelima potong tali ini membentuk barisan geometri. Jika potongan yang paling pendek 2 cm dan potongan yang paling panjang 162 cm, berapakah panjang tali semula?
Jawab:
Panjang potongan yang paling pendek merupakan U₁, sedangkan panjang potongan yang paling panjang merupakan U₅.
Jadi, U₁ = 2 cm dan U₅ = 162 cm.
U₅ = 162 cm, didapat
ar⁴ = 162 cm.
Oleh karena a = 2 cm, maka
2.r⁴ = 162 cm.
r⁴ = 81
r = 3
Jadi, r = 3.
Panjang tali semula merupakan jumlah 5 suku pertama deret geometri tersebut, yaitu:

Jadi, panjang tali semula adalah 242 cm.

Seperti yang telah kita pelajari sebelumnya pada Barisan Geometri, jika U₁, U₂, U₃, U₄, ... , U_n adalah barisan geometri maka suku-sukunya dapat ditulis a, ar, ar², ar³, ar⁴, ..., ar^{n – 1}. Dari barisan geometri tersebut, kamu dapatmemperoleh barisan penjumlahan berikut.
a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + ar^{n – 1}
Barisan penjumlahan ini disebut deret geometri.
Misalkan,jumlah n suku pertama deret geometri dilambang kan dengan Sn, maka berlaku hubungan berikut.
          S_n = a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + ar^{n – 2} + ar^{n – 1}
      r . S_n =       ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + ar^{n – 1} + arⁿ
___________________________________________________________ –
(1 – r)S_n = a – arⁿ
(1 – r)S_n = a (1 – rⁿ)

Dengan demikian, jumlah n suku pertama deretgeometri adalah sebagai berikut.

Contoh Soal 1

Tentukan jumlah delapan suku pertama dari barisan 2, 6, 18, 54, ....

Penyelesaian:

PEMBAHASAN SOAL 1
Menentukan a dan r	Menentukan S8
a =2 r = 6/2 = 3

Contoh Soal 2

Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskan dengan S_n = 2³ⁿ – 1. Tentukan suku ke-n deret tersebut.

Penyelesaian:

PEMBAHASAN CONTOH SOAL 2
Cara 1	Cara 2
Sn = 23n – 1   Sn – 1 = 23(n – 1) – 1             = 23n. 2–3 – 1     Un = Sn – Sn – 1         = (23n – 1) – (23n. 2–3 – 1)         = 23n – 1 – 23n. 2–3 + 1         = 23n(1 – 2–3) Sehingga:	Sn = 23n – 1   S1 = U1 = 23.1 – 1 = 8 – 1 = 7   S2 = U1 + U2 = 23.2 – 1 = 64 – 1 = 63   Sehingga   U2 = S2 – S1 = 63 – 7 = 56   dan   r = U2/U1 = 56/7 = 8   Ingat!!   Un = arn – 1         = 7.8n – 1

Contoh Soal 3

Diketahui barisan geometri : 3, 6, 12, 24, 48, ..., Un. Tentukan suku ketujuh (U7) dan jumlah tujuh suku pertamanya (S7).

Jawab:

PEMBAHASAN CONTOH SOAL 3
Menentukan suku ketujuh (U7)	Menentukan jumlah tujuh suku pertamanya (S7).
Un = arn – 1   maka   U7 = ar7 – 1   U7 = 3.26         = 3 · 64         = 192 Jadi, suku ketujuhnya adalah 192.	Jadi, jumlah tujuh suku pertamanya adalah 381

Barisan Geometri.


Perhatikan contoh-contoh barisan di bawah ini.
a. 3, 6, 12, 24, . . .
b. a, a², a³, a⁴, a⁵, . . .
c. py, py², py³, py⁴, py⁵, ...

Aturan apakah yang berlaku pada barisan bilangan di atas? Apakah bedanya dengan barisan aritmatika?
Barisan bilangan yang mempunyai ciri seperti itu disebut barisan geometri. Perbandingan antara dua suku berturutan pada barisan geometri disebut rasio.
Contoh-contoh barisan di atas merupakan barisan geometri karena pada masing-masing barisan perbandingan antara setiap suku dengan suku sebelumnya sama nilainya.

Definisi
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai perbandingan tiap dua sukunya yang berurutan sama.
Dengan kata lain, barisan U₁, U₂, U₃, U₄, ... , U_n disebut barisan geometri jika U₂/ U₁ = U₃/U₂ = U₄/U₃ .


Perhatikan kembali contoh di atas.

PEMBAHASAN 1
a. 3, 6, 12, 24, . . .	b. a, a2, a3, a4, a5, . . .	c. py, py2, py3, py4, py5, ....
U1 = 3    U2 = 3 × 21    U3 = 3 × 22    U4 = 3 × 23    ...    Un = 3 × 2n – 1	U1 = a    U2 = a × a1    U3 = a × a2    U4 = a × a3    ...    Un = a × an – 1	U1 = py    U2 = py × y1    U3 = py × y2    U4 = py × y3    ...    Un = py × yn – 1

Pada contoh diatas tampak bahwa, perbandingan setiap dua suku berurutan pada barisan tersebut selalu tetap. Barisan bilangan seperti ini disebut barisan geometri dengan perbandingan setiap dua suku berurutannya dinamakan rasio (r).



INGAT!!!
Pada barisan geometri, berlaku U_n/U_{n – 1} = r sehingga U_n = r.U_{n – 1}


Jadi rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama = a dan rasio r dapat dinyatakan sebagai berikut.

Contoh Soal 1.

Diketahui barisan geometri 4, –8, 16, –32, . . .
a. Tentukan rasionya.
b. Tentukan rumus Un.
c. Tentukan nilai Suku ke-7.

Penyelesaian:

PEMBAHASAN CONTOH SOAL 1
Menentukan Rasio (r)	Menentukan Rumus Un	Menentukan Suku ke-7
Rasio adalah perbandingan antara dua suku berturutan. Sehingga:	Un = a.rn – 1        = 4.(–2)n – 1	Un = a.rn – 1     U7 = 4.(–2)7 – 1        = 4.(–2)6        = 4.(64)        = 256

Contoh Soal 2.

Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri berturut-turut 6 dan 162. Tentukan suku keempatnya.

Penyelesaian:
Pertama-tama tentukan dulu suku pertama (a) dan rasionya (r), setelah itu baru tentukan suku keempatnya dengan rumus Un.

PEMBAHASAN CONTOH SOAL 2
Langkah 1 Menentukan rasio	Langkah 2 Menentukan a	Langkah 3 Menentukan U4
Suku kedua = 6 → ar = 6 Suku kelima = 162           ar4 = 162       ar. r3 = 162         6. r3 = 162             r3 = 27             r3 = 33             r   = 3	ar = 6     a.3 = 6         a = 2	U4   = a.r4 – 1             = 2.33             = 2.27             = 54

Contoh Soal 3.

Tiga bilangan aritmetika membentuk barisan geometri jumlah ketiga bilangan itu 35 dan hasil kalinya 1.000. Tentukan bilangan-bilangan tersebut.

Penyelesaian:

PEMBAHASAN CONTOH SOAL 3
Menetukan nilai a	Menetukan Rasio
Misalkan barisan tersebut adalah: ar– 1, a, ar hasil kalinya 1.000 → ar–1. a. ar = 1000 a3 = 103 a = 10	jumlah ketiga bilangan itu 35 → ar–1 + a + a.r = 35 10r–1 + 10 + 10.r = 35 10 + 10r + 10.r2 = 35r 10.r2 – 15r + 10 = 0 2r2 – 5r + 2 = 0 (2r – 1)(r – 2) = 0 r = 1/2 atau r = 2

Jadi bilangan yang dimaksud adalah 20, 10, 5 atau 5, 10, 20

Barisan dan Deret Aritmatika

Seperti yang telah dijelaskan pada postingan sebelumnya, Barisan Aritmatika adalah suatu barisan yang suku selanjutnya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ( beda ) pada suku sebelumnya. Sedangkan Deret aritmatika adalah jumlah semua suku-suku pada barisan aritmatika.

Sifat Barisan dan Deret Aritmatika: memiliki beda/selisih yang tetap ( b = tetap )

Bentuk Umum Barisan dan Deret Aritmatika :

Barisan : a, (a+b), (a+2b),……, { a + (n–1)b}
Deret : a + (a+b) +(a+2b)+…+ (a+ (n–1)b)



⇔

Rumus suku ke-n barisan aritmatika

Rumus untuk menentukan nilai suku ke-n barisan aritmatika adalah sebagai berikut

dengan
a = U1 = Suku Pertama
b = beda = Un – U_n–1



⇔

Rumus Jumlah suku ke-n pada Deret aritmatika.

Rumus untuk menentukan jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika adalah sebagai berikut

dengan
Sn = Jumlah n suku pertama
a = U1 = Suku Pertama
b = beda = Un – U_n–1
Un = nilai suku ke-n

Contoh soal Barisan dan Deret Aritmatika :

1. Soal UN C3 2008

Rumus suku ke-n suatu barisan adalah Un = n² – 2n. Jumlah suku ke-10 dan ke-11 barisan itu adalah …

Pembahasan :
U₁₀ = 10² – 2×10 = 100 – 20 = 80
U₁₁ = 11² – 2×11 = 121 – 22 = 109

Jumlah suku ke-10 dan ke-11
= 80 + 109 = 189

Jadi jumlah suku ke-10 dan ke-11 adalah 189

2. Soal UN C3 2008

Banyak kursi pada barisan pertama di gedung bioskop adalah 20. Banyak kursi pada baris di belakangnya 4 buah lebih banyak dari kursi pada garis di depannya. Banyak kursi pada baris ke-15 adalah…..

⇒Pembahasan :
U₁ = 20
U₂ = 24

Rumus Un = a + ( n–1 ) b

Diketahui : a = 20, b =4
U₁₅ = 20 + (15–1) x 4
= 20 + 56
=76

Jadi Banyak kursi pada baris ke-15 adalah 76 buah

3. Soal Madas UMPTN 1993

Banyaknya bilangan di antara 101 dan 1000 yang habis dibagi 3 adalah…

⇒Pembahasan :
Bilangan antara 101 dan 1000 yang habis dibagi 3 adalah : 102,105,108,….,999
Berarti : a = 102 , b = 3 dan Un =999

Un = a + ( n–1 ) b
999 = 102 + (n–1) 3
(n–1) = (999–102)/3
(n–1) = 897/3
(n–1) = 299
n = 299+1
n = 300

Jadi Banyaknya bilangan di antara 101 dan 1000 yang habis dibagi 3 adalah 300

4. Soal Matdas UMPTN 1989

Tentang deret hitung 1,3,5,7,… diketahui bahwa jumlah n suku pertama adalah 225, maka suku ke-n adalah ….

⇒Pembahasan :
a = 1 dan b = 3–1 = 2, maka berlaku :

Sn = n/2 (2a + ( n–1 ) b)
225 = n/2 ( 2.1 +(n–1) 2 )
225 = n/2 ( 2 + 2n – 2)
225 = n/2 (2n)
225 = n²
n = 15

Jadi, Un = U₁₅ = a + ( n–1 ) b = 1 + ( 15–1 ) 2 = 29