Deret Geometri Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasannya

Seperti yang telah kita pelajari sebelumnya pada Barisan Geometri, jika U₁, U₂, U₃, U₄, ... , U_n adalah barisan geometri maka suku-sukunya dapat ditulis a, ar, ar², ar³, ar⁴, ..., ar^{n – 1}. Dari barisan geometri tersebut, kamu dapatmemperoleh barisan penjumlahan berikut.
a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + ar^{n – 1}
Barisan penjumlahan ini disebut deret geometri.
Misalkan,jumlah n suku pertama deret geometri dilambang kan dengan Sn, maka berlaku hubungan berikut.
          S_n = a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + ar^{n – 2} + ar^{n – 1}
      r . S_n =       ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + ar^{n – 1} + arⁿ
___________________________________________________________ –
(1 – r)S_n = a – arⁿ
(1 – r)S_n = a (1 – rⁿ)

Dengan demikian, jumlah n suku pertama deretgeometri adalah sebagai berikut.

Contoh Soal 1

Tentukan jumlah delapan suku pertama dari barisan 2, 6, 18, 54, ....

Penyelesaian:

PEMBAHASAN SOAL 1
Menentukan a dan r	Menentukan S8
a =2 r = 6/2 = 3

Contoh Soal 2

Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskan dengan S_n = 2³ⁿ – 1. Tentukan suku ke-n deret tersebut.

Penyelesaian:

PEMBAHASAN CONTOH SOAL 2
Cara 1	Cara 2
Sn = 23n – 1   Sn – 1 = 23(n – 1) – 1             = 23n. 2–3 – 1     Un = Sn – Sn – 1         = (23n – 1) – (23n. 2–3 – 1)         = 23n – 1 – 23n. 2–3 + 1         = 23n(1 – 2–3) Sehingga:	Sn = 23n – 1   S1 = U1 = 23.1 – 1 = 8 – 1 = 7   S2 = U1 + U2 = 23.2 – 1 = 64 – 1 = 63   Sehingga   U2 = S2 – S1 = 63 – 7 = 56   dan   r = U2/U1 = 56/7 = 8   Ingat!!   Un = arn – 1         = 7.8n – 1

Contoh Soal 3

Diketahui barisan geometri : 3, 6, 12, 24, 48, ..., Un. Tentukan suku ketujuh (U7) dan jumlah tujuh suku pertamanya (S7).

Jawab:

PEMBAHASAN CONTOH SOAL 3
Menentukan suku ketujuh (U7)	Menentukan jumlah tujuh suku pertamanya (S7).
Un = arn – 1   maka   U7 = ar7 – 1   U7 = 3.26         = 3 · 64         = 192 Jadi, suku ketujuhnya adalah 192.	Jadi, jumlah tujuh suku pertamanya adalah 381