Cara Mudah Menyelesaikan Soal Barisan dan Deret Aritmatika&Geometri Pada Soal SBMPTN 2018.

Mengingat Soal Barisan dan Deret selalu keluar mewarnai Soal SBMPTN dari tahun ke tahun, Bukan tidak mungkin pada SBMPTN tahun ini pun akan muncul tipe soal barisan dan deret.
Yuk kita intip seperti apa soal barisan dan deret yang senantiasa muncul tiap tahun ini.

1. Soal SPMB 2004

Jumlah suatu deret aritmatika adalah 20. Suku pertama deret tersebut adalah 8 dan bedanya -2. Jika banyaknya suku deret adalah n, maka n adalah ....
A. 4 atau 5
B. 4 atau 6
C. 4 atau 7
D. 5 atau 6
E. 5 atau 7

Penyelesaian
deret aritmatika dengan
S_n = 20
u₁ = 8
b = -2

Sehingga
S_n = 20
S_n = n/2 (2a + (n - 1)b) = 20
n/2 (2.8 + (n - 1).(-2)) = 20 (kedua ruas dikali 2)
n(-2n + 18) = 40
2n² - 18n + 40 = 0
n² - 9n + 20 = 0
(n - 4)(n - 5) = 0
n = 4 atau n = 5

2. Soal SPMB 2005

Jika suku ke-8 deret aritmatika adalah 20, dan jumlah suku ke-2 dan ke-16 adalah 30, maka suku ke-12 deret tersebut adalah ....
A. 5
B. 2
C. 0
D. – 2
E. – 5

Penyelesaian
deret aritmatika dengan Un = a + (n - 1)b.
      U₈ = 20
a + 7b = 20

    U₂   +   U₁₆        = 30
(a + b) + (a + 15b) = 30
    2a    +   16b        = 30
         a +   8b          = 15
         a + 7b + b      = 15
          20      +  b     = 15
                        b     = -5

U₁₂ = a + 11b
      = a + 7b + 4b
      = 20 + 4(-5)
      = 20 - 20
     = 0

3. Soal SPMB 2006

Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatik adalah S_n=3n²-2n. Jika suku ke-n deret ini adalah u_n, maka u₃ + u₅ =....
A. 20
B. 22
C. 38
D. 42
E. 46

Penyelesaian
S_n = 3n² - 2n
S₁ = U₁ = 3.1² - 2.1 = 1
S₂ = 3.2² - 2.2
U₁ + U₂ = 3.4 - 4
1 + U₂ = 8
U₂ = 7

b = U₂ - U₁ = 7 - 1 = 6

U₃ + U₅ = (a + 2b) + (a + 4b)
= 2a + 6b
= 2.1 + 6.6
= 2 + 36
= 38




Kok sepertinya mudah-mudah ya..., tidak jauh beda dengan soal UN.
Eitssss..., jangan salah!!!
Itu hanya beberapa soal yang sengaja saya ambil yang mudah-mudah saja, tapi yang sulit bin njelimet juga banyak. Misalnya pada soal yang akan saya berikan dibawah ini. Namun intinya kalian harus memahami konsep dasar barisan dan deret baik aritmatika maupun geometri. Sehingga..., bagaimanapun bentuk soal yang akan muncul di tahun 2018 ini, kalian akan tetap bisa mengerjakannya dengan mudah.


Berikut adalah beberapa macam soal Ujian masuk perguruan tinggi negeri mulai dari yang tingkat kesulitannya sedang sampai yang rumit...

6. Soal SPMB 2006

Suku tengah suatu deret aritmatika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka banyak suku deret tersebut adalah ……
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
E. 13

Penyelesaian
u_t = 23
u₃ = 13
u_n = 43

u_t = 23 → a + u_n = 2u_t
a + 43 = 2.23
a = 46 - 43
=3

u₃ = 13 → a + 2b = 13
3 + 2b = 13
2b = 10
b = 5

u_n = 43 → a + (n-1)b = 43
3 + (n-1)(5) = 43
3 + 5n - 5 = 43
5n = 45
n = 9

7. Soal SPMB 2006

Jika log⁡(x²) + log⁡(10x² ) + ⋯ + log⁡(10⁹x² ) = 55, maka x = ….
A. 1/10
B. 1/2
C. 1
D. √10
E. 2√10

Penyelesaian
log⁡(x²) + log⁡(10x²) + ⋯ + log⁡(10⁹ x² ) = 55
log⁡(x² ) (10x² )…(10⁹ x² ) = log⁡ 10⁵⁵
10^(1+2+⋯+9) x²⁰ = 10⁵⁵
10⁴⁵ x²⁰ = 10⁵⁵
x²⁰ = 10¹⁰
x = √10

8. Soal SPMB 2006

Jika suku ke-n suatu deret adalah u_n = 2^(2x-n) , maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah ….
A. 2^(2x-2)
B. 2^(2x-1)
C. 2^2x
D. 2^(2x+1)
E. 2^(2x+2)

Penyelesaian
u_n = 2^(2x-n)
u₁ = 2^(2x-1)
u₂ = 2^(2x-2)

9. Soal SPMB 2006

Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama a mempunyai jumlah 2, maka a memenuhi….
A. -2 < a < 0
B. -4 < a < 0
C. 0 < a < 2
D. 0 < a < 4
E. -4 < a < 4

Penyelesaian
deret geometri tak hingga
suku pertama = a
S_~ = 2

a = 2 - 2r
2r = 2 - a

Agar deret geometri memiliki jumlah, maka:
-1 < r < 1
-2 < 2r < 2
-2 < 2-a < 2
-4 < -a < 0
0 < a < 4

10. Soal SPMB 2004

Pada saat awal diamati 8 virus jenis tertentu, setiap 24 jam masing-masing membelah diri menjadi dua. Jika setiap 96 jam seperempat dari seluruh virus dibunuh, maka banyaknya virus pada hari ke-6 adalah ....
A. 96
B. 128
C. 192
D. 224
E. 256

Penyelesaian
Silahkan dicoba dulu ya, klo ada kesulitan silahkan komentar di kolom bawah

11. Soal SPMB 2007

Suku ke-3 suatu deret aritmatika adalah 11 dan suku terakhirnya 23. Jika suku tengah deretnya adalah 14, maka jumlah semua suku deret adalah
A. 90
B. 98
C. 100
D. 102
E. 110

Penyelesaian
Silahkan dicoba dulu ya, klo ada kesulitan silahkan komentar di kolom bawah

Barisan dan Deret Aritmatika

Seperti yang telah dijelaskan pada postingan sebelumnya, Barisan Aritmatika adalah suatu barisan yang suku selanjutnya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ( beda ) pada suku sebelumnya. Sedangkan Deret aritmatika adalah jumlah semua suku-suku pada barisan aritmatika.

Sifat Barisan dan Deret Aritmatika: memiliki beda/selisih yang tetap ( b = tetap )

Bentuk Umum Barisan dan Deret Aritmatika :

Barisan : a, (a+b), (a+2b),……, { a + (n–1)b}
Deret : a + (a+b) +(a+2b)+…+ (a+ (n–1)b)



⇔

Rumus suku ke-n barisan aritmatika

Rumus untuk menentukan nilai suku ke-n barisan aritmatika adalah sebagai berikut

dengan
a = U1 = Suku Pertama
b = beda = Un – U_n–1



⇔

Rumus Jumlah suku ke-n pada Deret aritmatika.

Rumus untuk menentukan jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika adalah sebagai berikut

dengan
Sn = Jumlah n suku pertama
a = U1 = Suku Pertama
b = beda = Un – U_n–1
Un = nilai suku ke-n

Contoh soal Barisan dan Deret Aritmatika :

1. Soal UN C3 2008

Rumus suku ke-n suatu barisan adalah Un = n² – 2n. Jumlah suku ke-10 dan ke-11 barisan itu adalah …

Pembahasan :
U₁₀ = 10² – 2×10 = 100 – 20 = 80
U₁₁ = 11² – 2×11 = 121 – 22 = 109

Jumlah suku ke-10 dan ke-11
= 80 + 109 = 189

Jadi jumlah suku ke-10 dan ke-11 adalah 189

2. Soal UN C3 2008

Banyak kursi pada barisan pertama di gedung bioskop adalah 20. Banyak kursi pada baris di belakangnya 4 buah lebih banyak dari kursi pada garis di depannya. Banyak kursi pada baris ke-15 adalah…..

⇒Pembahasan :
U₁ = 20
U₂ = 24

Rumus Un = a + ( n–1 ) b

Diketahui : a = 20, b =4
U₁₅ = 20 + (15–1) x 4
= 20 + 56
=76

Jadi Banyak kursi pada baris ke-15 adalah 76 buah

3. Soal Madas UMPTN 1993

Banyaknya bilangan di antara 101 dan 1000 yang habis dibagi 3 adalah…

⇒Pembahasan :
Bilangan antara 101 dan 1000 yang habis dibagi 3 adalah : 102,105,108,….,999
Berarti : a = 102 , b = 3 dan Un =999

Un = a + ( n–1 ) b
999 = 102 + (n–1) 3
(n–1) = (999–102)/3
(n–1) = 897/3
(n–1) = 299
n = 299+1
n = 300

Jadi Banyaknya bilangan di antara 101 dan 1000 yang habis dibagi 3 adalah 300

4. Soal Matdas UMPTN 1989

Tentang deret hitung 1,3,5,7,… diketahui bahwa jumlah n suku pertama adalah 225, maka suku ke-n adalah ….

⇒Pembahasan :
a = 1 dan b = 3–1 = 2, maka berlaku :

Sn = n/2 (2a + ( n–1 ) b)
225 = n/2 ( 2.1 +(n–1) 2 )
225 = n/2 ( 2 + 2n – 2)
225 = n/2 (2n)
225 = n²
n = 15

Jadi, Un = U₁₅ = a + ( n–1 ) b = 1 + ( 15–1 ) 2 = 29

Contoh Soal 1
Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku pertama 10 dan suku keenam 20.
a. Tentukan beda deret aritmetika tersebut.
b. Tuliskan deret aritmetika tersebut.
c. Tentukan jumlah enam suku pertama deret aritmetika tersebut.

Jawab :

PEMBAHASAN 1
Menentukan beda (b)	Menentukan Deret	Menentukan Jumlah enam suku pertama
suku pertama 10 → a = 10 suku keenam 20 → U6 = 20 U6 = 20 → a + 5b = 20 a + 5b = 20 10 + 5b = 20 5b = 20 – 10 5b = 10 b = 10/5 b = 2	Beda = 2 Suku Pertama 10 → a = U1 = 10 U2 = a + b = 10 + 2 = 12 U3 = U2 + b = 12 + 2 = 14 U4 = U3 + b = 14 + 2 = 16 U5 = U4 + b = 16 + 2 = 18 Sehingga: Deret aritmetikanya adalah 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + ... + Un	S6 = 6/2 {10 + 20}       = 3 .{30)       = 90 Jadi, jumlah 6 suku yang pertama adalah 90

Contoh Soal 2



Contoh Soal 3


Contoh Soal 4


Contoh Soal 5



Contoh Soal 6



Latihan Soal.




Yuk Kita intip pembahasannya..
Pembahasan Latihan Soal Deret Aritmatika


Sepuluh bilangan membentuk deret aritmatika dengan nilai suku

Pada Postingan sebelumnya kita telah belajar tentang barisan Aritmatika. Jika teman-teman sudah paham tentang barisan aritmatika, maka akan mudah untuk bisa memahami tentang deret aritmatika yang akan kita bahas kali ini. (yang masih belum bisa/belum paham betul silahkan dipelajari lagi disini ya...)

Pengertian Deret Hitung/Deret Aritmetika

Jika setiap suku barisan aritmetika dijumlahkan, maka diperoleh deret aritmetika. Dengan kata lain, Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari barisan aritmetika.
Oleh karena itu deret aritmatika dituliskan dalam bentuk umum berikut:




Oleh karena Un = a + (n 1)b, maka Sn dapat juga dinyatakan sebagai berikut.

Contoh Soal Deret Aritmatika

Kita mulai dari contoh soal yang paling mudah terlebih dulu. Perhatikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal 1
Suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tuliskan deret aritmetika dari barisan tersebut.
Jawab:
Beda = 3
Suku Pertama 5 → a = U1 = 5
U2 = a + b = 5 + 3 = 8
U3 = U2 + b = 8 + 3 = 11
U4 = U3 + b = 11 + 3 = 14
U5 = U4 + b = 14 + 3 = 17

Sehingga :
• Barisan aritmetikanya adalah 5, 8, 11, 14, 17, ..., Un
• Deret aritmetikanya adalah 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + ... + Un



Contoh Soal 2
Tentukan jumlah 6 suku yang pertama dari deret 1 + 4 + 7 + 10 + ...

Jawab:
   4 – 1 = 3
   7 – 4 = 3
Terlihat bahwa selisih dua suku berurutan pada deret 1 + 4 + 7 + 10 + ... adalah tetap, yaitu b = 3 sehingga deret bilangan tersebut merupakan deret aritmetika dengan nilai awal/suku pertama 1 (a = 1) dan beda 3 (b = 3)

Cara 1	Cara 2 (dengan menggunakan Rumus)
U5 = U4 + b = 10 + 3 = 13   U6 = U5 + b = 13 + 3 = 16   Sehingga:   S6 = U1 + U2 + U3 + U4 +U5 + U6   S6 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16   S6 = 51	Sn = n/2 {2a + (n-1)b}   S6= 6/2 {2.1 + (6 – 1).3}         = 3 {2 + 15}         = 3.(17)         = 51

Contoh Soal 3
Diketahui deret aritmetika : 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... + Un. Tentukan:
a. suku kesepuluh (U₁₀) deret tersebut,
b. jumlah sepuluh suku pertama (S₁₀)

Jawab:
   7 – 3 = 4
   11 – 7 = 4
Terlihat bahwa selisih dua suku berurutan pada deret 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... + Un adalah tetap, yaitu b = 4 sehingga deret bilangan tersebut merupakan deret aritmetika dengan nilai awal/suku pertama 3 (a = 3) dan beda 4 (b = 4)
a. Menentukan suku ke-10 (U₁₀), artinya n = 10
Ingat rumus untuk menentukan suku ke-n barisan aritmetika pada pembahasan sebelumnya.
  U₁₀ = 3 + (10 – 1).4
          = 3 + (9).4
          = 3 + 36
          = 39
b. Menentukan jumlah sepuluh suku pertama (S₁₀)

Cara 1 dengan rumus	Cara 2 dengan rumus
Sn = n/2 {2a + (n – 1)b}   S10= 10/2 {2.3 + (10 – 1).4}         = 5.{6 + 36}         = 5.(42)         = 210	Sn = n/2 {a + Un}   S10= 10/2 {3 + 39}         = 5.(42)         = 210

Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.


Jika barisan aritmetika dimulai dengan suku pertama a dan beda b, maka kalian akan mendapatkan barisan berikut.

Tampak bahwa, Un = a + (n – 1)b.


Perhatikan contoh-contoh barisan aritmetika berikut ini.
a. 1, 4, 7, 10, . . .
b. 3, 5, 7, 9, . . .
c. 45, 35, 25, 15, . . .
Pada masing-masing contoh di atas selisih antara suku yang berdekatan adalah sama, yuk kita bahas satu persatu.

PEMBAHASAN 1
a. 1, 4, 7, 10, . . .	b. 3, 5, 7, 9, . . .	c. 45, 35, 25, 15, . . .
b = 4 – 1 = 7 – 4 = 10 – 7 = . . . = 3 selisih antara suku yang berdekatan adalah 3, sehingga: U1 = 1 U2 = 1 + 1 × 3 = 4 U3 = 1 + 2 × 3 = 7 U4 = 1 + 3 × 3 = 10 Un = 1 + (n – 1)3	b = 5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = . . . = 2 selisih antara suku yang berdekatan adalah 2, sehingga: U1 = 3 U2 = 3 + 1 × 2 = 5 U3 = 3 + 2 × 2 = 7 U4 = 3 + 3 × 2 = 9 Un = 3 + (n – 1)2	b = 35 – 45 = 25 – 35 = 15 – 25 = . . . = –10 selisih antara suku yang berdekatan adalah –10, sehingga: U1 = 45 U2 = 45 + 1(–10) = 35 U3 = 45 + 2(–10) = 25 U4 = 45 + 3(–10) = 15 Un = 45 + (n – 1) (–10)

Dengan kata lain, Jika suku pertama disebut a, banyaknya suku dilambangkan dengan n, selisih antara dua suku berturutan disebut b, maka diperoleh:
rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah:

Contoh Soal Barisan Aritmatika

Masih bingung??
Kita lanjutkan contoh soal berikutnya