a. Menentukan Persentase Untung atau Rugi

Pada postingan sebelumnya, kita telah mempelajari persen.
Ingat... Persen artinya per seratus.
Persen ditulis dalam bentuk p% dengan p bilangan real.
Dalam perdagangan, besar untung atau rugi terhadap harga pembelian biasanya dinyatakan dalam bentuk persen.



Rumus di atas dapat diterapkan pada contoh soal berikut.

Contoh Soal 1:

Seorang pedagang membeli 1 kuintal beras dengan harga Rp6.000,00 per kg. Pedagang itu menjual beras tersebut dan memperoleh uang sebanyak Rp620.000,00. Tentukan persentase untung atau rugi pedagang itu.

Penyelesaian:
Harga pembelian = 100 × Rp6.000,00 = Rp600.000,00
Harga penjualan = Rp620.000,00
Harga penjualan lebih dari harga pembelian maka pedagang itu mengalami untung.

Untung = Rp620.000,00 – Rp600.000,00 = Rp20.000,00
Persentase keuntungan pedagang itu adalah

b. Menentukan harga penjualan dan harga pembelian jika persentase untung atau rugi diketahui

Jika persentase untung atau rugi diketahui, kita dapat menghitung harga beli atau harga jualnya.




Catatan:
Dalam bentuk persen, harga beli dapat dianggap sebagai modal = 100%.

Contoh Soal

Seorang pedagang menjual suatu barang dengan harga Rp210.000,00 dan mendapat untung 5% dari harga beli.
Tentukan har ga beli barang tersebut.

Penyelesaian:
Harga penjualan = harga pembelian + untung
Rp210.000,00 = harga pembelian + 5% harga pembelian
Harga pembelian = 100% harga pembelian + 5% harga pembelian
= (100% + 5%) harga pembelian
= 105% harga pembelian

ARITMETIKA SOSIAL DALAM KEGIATAN EKONOMI

Pernahkah kalian membeli barang/snack di pasar atau di sebuah toko besar? Di pasar atau toko besar, biasanya barang dijual dalam jumlah banyak (grosir). Harga barang yang dijual dalam jumlah banyak biasanya lebih rendah atau lebih murah daripada jika dijual secara eceran. Bandingkan jika kalian membeli barang dalam jumlah banyak di pasar dengan membeli secara eceran di toko dekat rumahmu.

1 . Menghitung Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, dan Nilai Sebagian

Seorang pemilik toko menjual satu kotak penghapus karet dengan harga Rp9.600,00. Ternyata, dalam satu kotak terdapat 12 buah penghapus karet. Seseorang membeli sebuah penghapus karet dan pemilik toko menjualnya dengan harga Rp800,00. Dalam hal ini, harga satu kotak penghapus karet = Rp9.600,00 disebut nilai keseluruhan, sedangkan harga satu buah penghapus karet = Rp800,00 disebut nilai per unit.

Contoh Soal:
Seorang pedagang buah membeli 12 buah durian. Ia membayar dengan 3 lembar uang seratus ribuan dan mendapat uang kembalian sebesar Rp30.000,00.
a. Tentukan harga pembelian seluruhnya.
b. Tentukan harga pembelian tiap buah.
c. Jika pedagang tersebut hanya membeli 8 buah durian, berapakah ia harus membayar?

Penyelesaian:
a. Harga pembelian = 3 × Rp100.000,00 – Rp30.000,00
                                = Rp300.000,00 – Rp30.000,00
                                = Rp270.000,00
Jadi, harga pembelian seluruhnya adalah Rp270.000,00.

b. Harga durian per buah
                = Rp270.000,00/12
                = Rp22.500,00
Jadi, harga tiap buah durian itu adalah Rp22.500,00.

c. Harga 8 buah = 8 × Rp22.500,00
                          = Rp180.000,00
Jadi, harga 8 buah durian adalah Rp180.000,00.

2. Harga Pembelian, Harga Penjualan, Untung, dan Rugi

Pak Samsul membeli televisi dengan harga Rp1.750.000,00. Sebulan kemudian televisi tersebut dijual dengan harga Rp1.900.000,00. Dalam hal ini, Pak Samsul mengalami untung Rp150.000,00. Jika Pak Samsul hanya mampu menjual dengan harga Rp1.650.000,00, dikatakan Pak Samsul mengalami rugi Rp100.000,00.

Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Harga beli adalah harga barang dari pabrik, grosir , atau tempat lainnya. Harga beli sering disebut modal. Dalam situasi tertentu, modal adalah harga beli ditambah dengan ongkos atau biaya lainnya.
Harga jual adalah harga barang yang ditetapkan oleh pedagang kepada pembeli.
Untung atau laba adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan lebih dari harga pembelian.

Rugi adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan kurang dari harga pembelian.

Contoh Soal
Seorang pedagang membeli jeruk sebanyak 40 kg dengan harga Rp6.500,00 per kg. Kemudian 30 kg di antaranya dijual dengan harga Rp7.000,00 per kg, dan sisanya dijual dengan harga Rp6.000,00 per kg.
Hitunglah
a. harga pembelian;
b. harga penjualan;
c. besarnya untung atau rugi dari hasil penjualan tersebut.

Penyelesaian:
a . Harga pembelian = 40 × Rp6.500,00
                                 = Rp260.000,00
Jadi, harga pembelian jeruk adalah Rp260.000,00.

b. Harga penjualan = (30 × Rp7.000,00) + (10 × Rp6.000,00)
                               = Rp210.000,00 + Rp60.000,00
                               = Rp270.000,00
Jadi, harga penjualannya adalah Rp270.000,00.

c. Karena harga penjualan lebih dari harga pembelian, maka pedagang tersebut mengalami untung.
Untung = harga penjualan – harga pembelian
             = Rp270.000,00 – Rp260.000,00
             = Rp10.000,00
Jadi, besarnya keuntungan yang diperoleh pedagang tersebut adalah Rp10.000,00.



Sumber : Bse smp, Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA YANG BERKAITAN DENGAN PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL


Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita.
Untuk menyelesaikannya, buatlah terlebih dahulu model matematika berdasarkan soal cerita tersebut. Kemudian, selesaikanlah.
Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh berikut.

Contoh 1

Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m², tentukan luas tanah petani tersebut.

Penyelesaian:
Misalkan panjang tanah = x maka lebar tanah = x – 6.
Model matematika dari soal di samping adalah p = x dan l = x – 6, sehingga
K = 2(p + l)
60 = 2( x + x – 6)

Penyelesaian model matematika di atas sebagai berikut.
     K  = 2(p + l)
⇔ 60 = 2(x + x – 6)
⇔ 60 = 2(2x – 6)
⇔ 60 = 4x – 12
⇔ 60 + 12 = 4x – 12 + 12
⇔ 72 = 4x
⇔ 72/4 = 4x/4
⇔ 18 = x

Luas = p.l
         = x(x – 6)
         = 18(18 – 6)
         = 18.12
         = 216
Jadi, luas tanah petani tersebut adalah 216 m²

Contoh 2

Diketahui harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal. Seorang pedagang membeli 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal. Pedagang tersebut harus membayar Rp275.000,00.
a. Buatlah model matematika dari keterangan di atas.
b. Selesaikanlah model matematika tersebut. Kemudian, tentukan harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal.

Penyelesaian:
a. Misalkan harga sepasang sepatu = x dan harga sepasang sandal = y. Model matematika berdasarkan keterangan di atas adalah x = 2y dan 4x + 3y = 275.000.
b. Dari model matematika diketahui x = 2y dan 4x + 3y = 275.000. Digunakan motode substitusi, sehingga diperoleh
     4x + 3y = 275.000
⇔ 4(2y) + 3y = 275.000
⇔ 8y + 3y = 275.000
⇔ 11y = 275.000
⇔ y = 25.000

Karena x = 2y dan y = 25.000, maka
            x = 2(25.000)
            x = 50.000
Jadi, harga sepasang sepatu adalah Rp50.000,00 dan harga sepasang sandal Rp25.000,00.
Harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal dapat ditulis sebagai 3x + 5y, sehingga
3x + 5y = (3 × 50.000) + (5 × 25.000)
             = 150.000 + 125.000
             = 275.000
Jadi, harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal adalah Rp275.000,00.

MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA YANG BERKAITAN DENGAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

1. Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan ukuran panjang (x + 5) cm, lebar ( x – 2) cm, dan tinggi x cm.
a. Tentukan model matematika dari persamaan panjang kawat yang diperlukan dalam x.
b. Jika panjang kawat yang digunakan seluruhnya tidak lebih 124 dari 132 cm, tentukan ukuran maksimum balok tersebut.

Penyelesaian:
a. Misalkan panjang kawat yang diperlukan = K, maka model matematikanya sebagai berikut.
K = 4p + 4l + 4t
= 4( x + 5) + 4( x – 2) + 4x
= 4x + 20 + 4 x – 8 + 4x
= 12x + 12

b. Panjang kawat tidak lebih dari 132 cm dapat ditulis K = 12x + 12 ≤ 132 cm, sehingga diperoleh
12x + 12 ≤ 132
12x + 12 – 12 ≤ 132 – 12
12x ≤ 120
12x/12 ≤ 120/12
x ≤ 10

Nilai maksimum x = 10 cm, sehingga diperoleh
p = (x + 5) cm = 15 cm
l = (x – 2) cm = 8 cm
t = x = 10 cm.
Jadi, ukuran maksimum balok adalah (15 × 8 × 10) cm.


2. Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang dengan panjang 16x cm dan lebar 10x cm. Jika luasnya tidak kurang dari 40 dm, tentukan ukuran minimum permukaan meja tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui panjang permukaan meja (p) = 16x, lebar (l) = 10x, dan luas = L.
Model matematika dari luas persegi panjang adalah
L
= p × l
= 16x × 10x
= 160x²


Luas tidak kurang dari 40 dm2 = 4.000 cm dapat ditulis
L = 160x² ≥ 4.000, sehingga diperoleh
160² ≥ 4.000
x² ≥ 25
x ≥ 5

Nilai minimum x = 5 cm, sehingga diperoleh
p = 16x cm = 16 × 5 cm = 80 cm
l = 10x cm = 10 × 5 cm = 50 cm.
Jadi, ukuran minimum permukaan meja tersebut adalah (80 × 50) cm.

Pada bagian depan telah kalian pelajari cara menyelesaikan persamaan linear satu variabel, salah satunya dengan substitusi (penggantian). Hal ini juga berlaku pada pertidaksamaan linear satu variabel.

Perhatikan pertidaksamaan 10 – 3x > 2, dengan x variabel pada himpunan bilangan asli.

Jika x diganti 1 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(1) > 2 ⇔ 7 > 2 (pernyataan benar)	Jika x diganti 2 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(2) > 2 ⇔ 10 – 6 > 2 ⇔ 4 > 2 (pernyataan benar)
Jika x diganti 3 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(3) > 2 ⇔ 10 – 9 > 2 ⇔ 1 > 2 (pernyataan salah)	Jika x diganti 4 maka 10 – 3x > 2 ⇔ 10 – 3(4) > 2 ⇔ 10 – 12 > 2 ⇔ –2 > 2 (pernyataan salah)

Ternyata untuk x = 1 dan x = 2, pertidaksamaan 10 – 3x > 2 menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian dari 10 – 3x > 2 adalah {1, 2}.

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Contoh Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x – 2 > 3x + 5 dengan x variabel pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian:
Cara 1
Dengan mengganti tanda “>” dengan “=” diperoleh persamaan 4x – 2 = 3 x + 5.
Dengan cara menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh penyelesaiannya adalah x = 7. Selanjutnya ambillah satu bilangan cacah yang kurang dari 7 dan lebih dari 7.
Periksalah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4x – 2 > 3 x + 5.
Jika x diganti 6 maka
4x – 2 > 3 x + 5
4(6) – 2 > 3(6) + 5
24 – 2 > 18 + 5
22 > 23 (bernilai salah)

Jika x diganti 8 maka
4x – 2 > 3 x + 5
4(8) – 2 > 3(8) + 5
32 – 2 > 24 + 5
30 > 29 (bernilai benar)
Karena nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari 7, maka himpunan penyelesaian dari 4x – 2 > 3x + 5 adalah {8, 9, 10, ...}.


Cara 2
4x – 2 > 3x + 5
4x – 2 + 2 > 3x + 5 + 2 (kedua ruas ditambah 2)
4x > 3x + 7
4x + (–3 x) > 3x + (–3x) + 7 (kedua ruas ditambah –3x)
x > 7
Karena x variabel pada himpunan bilangan cacah maka himpunan penyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.


Cara 3
4x – 2 > 3x + 5
4x – 2 – 5 > 3x + 5 – 5 (kedua ruas dikurangi 5)
4x – 7 > 3x
4x + (–4x) – 7 > 3x + (–4x) (kedua ruas ditambah –4x)
–7 > – x
–7 : (–1) < –x : (–1) (kedua ruas di bagi dengan –1 tetapi tanda ketidaksamaan berubah menjadi <) 7 < x atau x > 7
Karena x anggota bilangan cacah maka himpunan penyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.


Berdasarkan contoh di atas, untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel, dapat dilakukan dalam dua cara sebagai berikut.
a. Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidaksamaan dengan tanda “=”.
b. Menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen.

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.
Suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen dengan cara sebagai berikut.
a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.
b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.
c. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, tetapi tanda ketidaksamaan berubah, dimana
1) > menjadi <; 3) < menjadi >;
2) ≥ menjadi ≤; 4) ≤ menjadi ≥.

PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

Dalam kehidupan sehari-hari, adik-adik pasti pernah atau bahkan sering menjumpai kalimat-kalimat seperti berikut.
a. Tinggi badan Ani lebih dari 152 cm.
b. Berat badan Amri 2 kg kurang dari berat badanku.
c. Salah satu syarat menjadi anggota TNI adalah tinggi badannya tidak kurang dari 165 cm.
d. Sebuah bus dapat mengangkut tidak lebih dari 59 orang.

Bagaimana menyatakan kalimat-kalimat tersebut dalam bentuk kalimat matematika? Untuk dapat menjawabnya pelajari uraian berikut.

1. Pengertian Ketidaksamaan

Agar kalian memahami pengertian ketidaksamaan, coba ingat kembali materi di sekolah dasar mengenai penulisan notasi >, <, ≥, dan ≤.
a. 3 kurang dari 5 ditulis 3 < 5.
b. 8 lebih dari 4 ditulis 8 > 4.
c. x tidak lebih dari 9 ditulis x ≤ 9.
d. Dua kali y tidak kurang dari 16 ditulis 2y ≥ 16.
Kalimat-kalimat 3 < 5, 8 > 4, x ≤ 9, dan 2y ≥ 16 disebut ketidaksamaan atau pertidaksamaan.
Dengan kata lain,
Pertidaksamaan adalah Kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ketidaksamaan (<, >, ≥, dan ≤).

2 . Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pada postingan sebelumnya, kita telah mempelajari bahwa suatu persamaan selalu ditandai dengan tanda hubung “=”. Pada bagian ini kalian akan mempelajari ciri suatu pertidaksamaan.
Pada postingan yang lalu juga telah dijelaskan bahwa Persamaan linier satu Variabel hanya memiliki satu variabel berpangkat satu, maka demikian juga dengan Pertidaksamaan linear satu variabel. Yang membedakan adalah tanda hubung yang dimilikinya.


Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.
Suatu ketidaksamaan selalu ditandai dengan salah satu tanda hubung berikut.
“<” untuk menyatakan kurang dari.
“>” untuk menyatakan lebih dari.
“≤” untuk menyatakan tidak lebih dari atau kurang dari atau sama dengan.
“≥” untuk menyatakan tidak kurang dari atau lebih dari atau sama dengan.

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, Pertidaksamaan selalu ditandai dengan notasi >, <, ≥, dan ≤. dengan kata lain

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu variabel dan berpangkat satu (linear).


Contoh:
Dari bentuk-bentuk berikut, tentukan yang merupakan pertidaksamaan linear dengan satu variabel.
a. x – 2 > 5
b. a ≤ 7 – 2b
c. y² – 4y ≥ 3

Penyelesaian:
a. x – 3 > 5
Pertidaksamaan x – 3 > 5 mempunyai satu variabel, yaitu x dan berpangkat 1, sehingga x – 3 > 5 merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.

b. a ≤ 7 – 2b
Pertidaksamaan a ≤ 7 – 2b mempunyai dua variabel, yaitu a dan b yang masing-masing berpangkat 1. Dengan demikian a ≤ 7 – 2b bukan suatu pertidaksamaan linear satu variabel.

c. y² – 4y ≥ 3
Karena pertidaksamaan y² – 4y ≥ 3 mempunyai variabel y dan y², maka y² – 4y ≥ 3 bukan merupakan
pertidaksamaan linear satu variabel.

3. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Pertidaksamaan selalu ditandai dengan notasi >, <, ≥, dan ≤. Masing-masing tanda hubung ini memiliki grafik yangg berbeda.

Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel Bentuk Pecahan


Dalam menentukan penyelesaian persamaan linear satu variabel bentuk pecahan, caranya hampir sama dengan menyelesaikan operasi bentuk pecahan aljabar. Agar tidak memuat pecahan, kalikan kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penyebutnya, kemudian selesaikan persamaan linear satu variabel.

Contoh Soal 1

Tentukan penyelesaian dari persamaan

jika x variabel pada himpunan bilangan rasional.

Penyelesaian:

	(kedua ruas dikalikan KPK dari 2 dan 5, yaitu 10)
2x – 20 + 20 = 5x – 5 + 20 2x = 5x + 15 2x – 5 x = 5x + 15 – 5 x –3x = 15 (–3x) : (–3) = 15 : (–3) x = –5	(kedua ruas ditambah 20) (kedua ruas dikurangi 5x) (kedua ruas dibagi –3)

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan adalah {–5}.

Contoh Soal 2

Tentukan penyelesaian dari persamaan

jika x variabel pada himpunan bilangan rasional.

Penyelesaian:

	(kedua ruas dikalikan KPK dari 2 dan 3, yaitu 6)
2x + 4 – 4 = 6x + 3 – 4 2x = 6x – 1 2x – 6x = 6x – 1 – 6x –4x = –1 (–4x) : (–4) = (–1) : (–4) x = 1/4 = 0,25	(kedua ruas dikurangi 4) (kedua ruas dikurangi 6x) (kedua ruas dibagi –4)

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan adalah {0,25}.

Pengertian Persamaan dan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel.

Adik-adik pasti sering mendengar istilah Persamaan Linear Satu Variabel, kira-kira menurut adik-adik Persamaan Linear Satu Variabel itu apa sih??? (Pastinya bukan nama makanan yang di jual di toko Pizza ya, hehehe...)

Persamaan adalah Kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=). Persamaan dengan satu variabel berpangkat satu atau berderajat satu disebut persamaan linear satu variabel, yang sering disingkat dengan PLSV.


Perhatikan kalimat terbuka pada persamaan x + 2 = 5.
Jika x pada persamaan x + 2 = 5 diganti dengan x = 3 maka persamaan tersebut bernilai benar. Adapun jika x diganti bilangan selain 3 maka persamaan x + 2 = 5 bernilai salah. Dalam hal ini, nilai x = 3 disebut penyelesaian dari persamaan linear x + 2 = 5.
Selanjutnya, himpunan penyelesaian dari persamaan x + 2 = 5 adalah {3}.

Pengganti variabel x yang mengakibatkan persamaan bernilai benar disebut penyelesaian persamaan linear. Himpunan semua penyelesaian persamaan linear disebut himpunan penyelesaian persamaan linear.



Persamaan linear satu variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax = b atau ax + b = c dimana a, b dan c adalah konstanta, dengan a ≠ 0 dan x merupakan variabel pada suatu himpunan.

Dari persamaan berikut, tentukan mana saja yang merupakan persamaan linear satu variabel.
a. 2x – 1 = 7
b. x² – x = 5
c. ½x = 3
d. 2x + 3y = 6
e. 3y + 2 = 5

Penyelesaian:
a. 2x – 1 = 7
Variabel pada 2x – 1 = 7 adalah x dan berpangkat 1, sehingga persamaan 2x – 1 = 7 merupakan persamaan
linear satu variabel.

b. x² – x = 5
Variabel pada persamaan x² – x = 5 adalah x dan x², sehingga variabelnya berpangkat 1 dan 2. Karena terdapat x berpangkat 2 maka persamaan x² – x = 5 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.

c. ½x = 3
Karena variabel pada persamaan ½x = 3 berpangkat 1, maka ½x = 3 merupakan persamaan linear satu variabel.

d. 2x + 3y = 6
Variabel pada persamaan 2x + 3y = 6 ada dua, yaitu x dan y, sehingga 2x + 3y = 6 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.

e. 3y + 2 = 5
Variabel pada 3y + 2 = 5 adalah y dan berpangkat 1, sehingga persamaan 3y + 2 = 5 merupakan persamaan linear satu variabel.


Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x + 3 = 5, jika x variabel pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian:

PEMBAHASAN CONTOH 1
Cara 1	Cara 2
x + 3 = 5 Jika x diganti/diSubtitusi bilangan cacah, diperoleh: jika x = 0, maka 0 + 3 = 5 (kal. salah) jika x = 1, maka 1 + 3 = 5 (kal. salah) jika x = 2, maka 2 + 3 = 5 (kal. benar) Ternyata untuk x = 2, persamaan x + 3 = 5 menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x + 3 = 5 adalah {2}.	x + 3       = 5 ⇔ x + 3 – 3 = 5 – 3 ⇔            x  =  2 Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah { 2 }.

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5 jika x variabel pada himpunan bilangan bulat.

Penyelesaian:
     4x – 3 = 3x + 5
⇔ 4x – 3 + 3 = 3x + 5 + 3 (kedua ruas ditambah 3)
⇔     4x         = 3x + 8
⇔     4x – 3x = 3x – 3x + 8 (kedua ruas dikurangi 3x)
⇔            x    = 8
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5 adalah x = {8}.

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut.
1. 3x+1 = 4; x∈B ( B bilangan bulat )
2. 2y+5 = –3y+7; y∈Q ( Q bilangan rasional )

Penyelesaian :

PEMBAHASAN CONTOH 3
1. 3x + 1 = 4	2. 2y + 5 = –3y + 7
⇔ 3x + 1 – 1 = 4 – 1 ⇔           3x   = 3 ⇔     1/3.  3x = 3. 1/3 ⇔               x = 1 Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah { 1 }.	⇔ 2y + 5 – 5 = –3y + 7 – 5 ⇔          2y    = –3y + 2 ⇔     2y + 3y = 2 ⇔           5y   = 2 ⇔   1/5.  5y   = 1/5. 2 ⇔               y = 2/5 sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2/5}.

Yang termasuk dalam Ukuran Penyebaran Data adalah Jangkauan, Kuartil, Jangkauan Interkuartil, Jangkauan Semi Interkuartil.

Yuk kita bahas satu persatu...

1. Jangkauan

Jangkauan suatu data adalah selisih datum terbesar dengan datum terkecil. Jangkauan diperlukan untuk mengetahui tersebar atau terkumpulnya suatu data.

Biasanya, jangkauan dilambangkan dengan J. Untuk mengetahui jangkauan suatu data, kamu harus mengurutkan datum-datum pada data tersebut terlebih dahulu. Misalnya, diketahui data tinggi badan 8 siswa sebagai berikut.
150 , 155 , 160 , 157 , 158 , 160 , 155 , 150
Jika data tersebut diurutkan akan tampak seperti berikut.

150	150	155	155	157	158	160	160
Datum terkecil							Datum terbesar

Jangkauan data tersebut adalah 160 – 150 = 10.



Contoh Soal

Tentukan jangkauan dari data berikut.
a. 26, 40, 18, 25, 16, 45, 30
b. 15, 15, 15, 15, 15
Jawab:
a. Urutkan data terlebih dahulu.

16	18	25	26	30	40	45
Datum terkecil						Datum terbesar

 J = datum terbesar – datum terkecil
    = 45 – 16 = 29
Jadi, jangkauan data tersebut adalah 29.

b. Data ini jangkauannya nol.

2. Kuartil

Kuartil suatu data diperoleh dengan membagi suatu data terurut menjadi empat bagian sama besar. Kuartil terdiri atas tiga macam, yaitu:
a. kuartil bawah (Q₁)
b. kuartil tengah/median (Q₂)
c. kuartil atas (Q₃)
Jika suatu data dilambangkan dengan garis lurus, letak kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atasnya adalah sebagai berikut.


Cara menentukan kuartil sebagai berikut.


Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut.
Tentukan kuartil bawah (Q₁), kuartil tengah (Q₂), dan kuartil atas (Q₃) dari data-data berikut
a. 20 35 50 45 30 30 25 40 45 30 35
b. 11 13 10 10 12 15 14 12

Jawab:
a. Urutkan data terlebih dahulu.

Jadi, Q₁ = 30, Q₂ = 35, Q₃ = 45.

b. Urutkan data terlebih dahulu.

Jadi, Q₁ = 10,5; Q₂ = 12; dan Q₃ = 13,5.

1. Mean

Salah satu ukuran pemusatan data adalah mean atau rata-rata. Mean suatu data adalah jumlah seluruh datum dibagi oleh banyaknya datum. Mean dilambangkan dengan huruf kecil dengan garis diatasnya. Misalnya ̅a, ̅x, ̅x, atau ̅y. Akan tetapi, biasanya mean dilambangkan dengan ̅x (dibaca eks bar).
Jika suatu data terdiri atas n datum, yaitu x₁, x₂, x₃, x₄, ... , x_n, mean dari data tersebut dirumuskan sebagai berikut.



Contoh Soal
Nilai delapan kali ulangan Matematika Dina adalah sebagai berikut.
8, 8, 6, 7, 6, 7, 9, 9
Tentukan mean dari data tersebut.
Jawab:

Jadi, mean dari data tersebut adalah 7,5


Contoh Soal
Rata-rata nilai ulangan Geografi 10 orang siswa adalah 7,0. Jika nilai Rino dimasukkan, nilai rata-rata tersebut berubah menjadi 6,8. Tentukan nilai ulangan Geografi Rino.
Jawab:

Jika nilai Rino (x_{n + 1} = x₁₁) dimasukkan, maka

Jadi, nilai ulangan Geografi Rino adalah 4,8


Misalkan suatu data terdiri atas n datum, yaitu x₁, x₂, ... , x_i , dan memiliki frekuensi f₁, f₂, ... , f_i (seperti yang disajikan pada Tabel berikut)


Maka mean dari data tersebut dinyatakan oleh rumus sebagai berikut:




Contoh Soal
Hasil pengukuran berat badan 10 siswa SMP disajikan di dalam tabel distribusi frekuensi seperti pada gambar tersebut.

Tentukan mean dari data tersebut.
Jawab:

Jadi, mean dari data tersebut adalah 43,7 kg

2. Modus

Dalam statistika, nilai yang paling sering muncul di dalam suatu data disebut modus. Modus suatu data bisa satu, dua, tiga, atau lebih, bahkan terkadang adapula data yang tidak memiliki modus.

Contoh Soal
Berikut adalah data penjualan berbagai merek TV berwarna di toko elektronik Maju selama satu bulan.

TV berwarna merek apakah yang paling banyak terjual selama satu bulan tersebut?
Jawab:
Modus = nilai yang paling sering muncul
              = 7
Jadi, TV berwarna yang paling banyak terjual adalah TV merek C


Contoh Soal
Diberikan sekumpulan data sebagai berikut.
1, 4, 3, 5, 2, 3, 2, 2 , 5, 4, 3, 1
Tentukan modus dari data tersebut.
Jawab:
Perhatikan data tersebut dan beri tanda pada datum/nilai yang paling sering muncul.
1, 4, 3, 5, 2, 3, 2, 2, 5, 4, 3, 1
Datum yang paling sering muncul adalah 2.
Jadi, modus dari data tersebut adalah 2

3. Median

Median adalah nilai tengah suatu data setelah data tersebut diurutkan. Dengan demikian, median membagi data menjadi dua bagian sama banyak. Cara penentuan median tergantung pada banyaknya datum.


Contoh Soal

Tentukan median dari data berikut.
6, 7, 6, 6, 5, 8, 7
Jawab:
Urutkan data terlebih dahulu.
5,  6,  6,  6,  7,  7,  8       (banyaknya datum = 7 (ganjil)).
                ↓
          Median
Jadi, median dari data tersebut adalah 6



Contoh Soal
Setelah delapan kali ulangan Fisika, Budhi memperoleh nilai sebagai berikut.
7, 7, 10, 8, 6, 6, 7, 8. Tentukan median dari data tersebut.
Jawab:
Setelah diurutkan, data nilai Fisika Budhi akan tampak seperti berikut.
6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 10 (banyaknya datum = 8 (genap)).
Perhatikan, karena banyak datum genap maka nilai tengah atau median terletak diantara 7 dan 7.
Sehingga....
Median = (7 + 7)/2 = 7
Jadi, median dari data tersebut adalah 7

a. Diagram Gambar
Diagram gambar atau piktogram adalah bagan yang menampilkan data dalam bentuk gambar. Menyajikan data dalam bentuk piktogram merupakan cara yang paling sederhana.

Contoh Soal
Jumlah penduduk di suatu kecamatan adalah sebagai berikut.
Kelurahan A sebanyak 800 orang.
Kelurahan B sebanyak 650 orang.
Kelurahan C sebanyak 700 orang.
Sajikan data tersebut dalam bentuk piktogram.
Jawab:


Pada dasarnya, penyajian data dalam bentuk piktogram memang menarik. Akan tetapi, penggunaan piktogram sangatlah terbatas. Misalnya pada Contoh Soal di atas, bagaimanakah cara menggambarkan piktogram kelurahan D yang memiliki penduduk sebanyak 627 orang? Tentu akan sulit menggambarkannya.

b. Diagram Batang
Diagram batang biasanya digunakan untuk menyajikan data dalam bentuk kategori. Untuk menggambar diagram batang, diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang saling berpotongan. Terdapat dua macam diagram batang, yaitu diagram batang vertikal dan diagram batang horizontal.

Contoh Soal
Diketahui data suhu minimum dan suhu maksimum di kota A, B, C, D, dan E sebagai berikut.

Sajikan data suhu minimum dalam diagram batang vertikal dan suhu maksimum dalam diagram batang horizontal.

Jawab:

a. Diagram Batang Vertikal	b. Diagram Batang Horizontal

c. Diagram Garis
Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data yang berkesinambungan dan berkala. Seperti pada diagram batang, untuk menggambar diagram garis, diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang saling berpotongan.

Contoh Soal
Diketahui data jumlah TV berwarna yang terjual di toko elektronik Maju Bersama setiap bulannya pada tahun 2006 adalah sebagai berikut.

Sajikan data tersebut dalam bentuk diagram garis.
Jawab:


d. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran biasanya digunakan untuk menunjukkan perbandingan suatu data terhadap keseluruhan. Biasanya, besar daerah pada lingkaran dinyatakan dalam persen (%) atau derajat (° ). Untuk diagram lingkaran yang dinyatakan dalam derajat, kamu harus membagi lingkaran menjadi juring-juring atau sektor-sektor. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh Soal
Diketahui data warna yang disukai 40 anak usia 12 sampai dengan 15 tahun sebagai berikut.

Sajikan data tersebut dalam bentuk diagram lingkaran.
Jawab:
Sebelum menyajikan data tersebut dalam bentuk diagram lingkaran, tentukan besar sudut pusat juring untuk setiap warna

Diagram lingkaran adalah sebagai berikut.

Untuk memudahkan membaca data, biasanya data disajikan dalam bentuk tabel atau diagram. Pada bagian ini, akan dibahas penyajian data dalam bentuk tabel.
Diketahui data nilai ulangan Matematika 30 siswa Kelas IX A sebagai berikut.

Nama	Nilai	Nama	Nilai	Nama	Nilai
Vina Popi Budi Gilang Santi Lulu Qori Anton Eko Zakfar	8 6 3 5 7 6 7 2 6 8	Doni Ubaid Ika Cindy Dea Aliyah Bayu Cici Jasmin Nabila	10 7 5 4 4 8 9 9 5 6	Teguh Yanuar Oktavia Fera Hadi Wina Mia Kiki Rudi Mawar	7 8 5 5 5 8 6 6 7 8

Untuk mengetahui berapa nilai ulangan yang diperoleh Cindy, kamu harus membaca data tersebut satu per satu. Untuk data pada Tabel 3.1 (30 datum), kamu masih dapat mencarinya dengan mudah walaupun memerlukan waktu yang cukup lama. Akan tetapi, bagaimana jika data yang ada
terdiri atas 1.000 datum?
Jika data pada Tabel 3.1 disajikan sesuai nama siswa yang disusun secara alfabet maka akan tampak seperti Tabel 3.2.

No	Nama	Nilai	No.	Nama	Nilai
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.	Aliyah Anton Bayu Budi Cici Cindy Dea Doni Eko Fera Gilang Hadi Ika Jasmin Kiki	8 2 9 3 9 4 4 10 6 5 5 5 5 5 6	16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.	Lulu Mawar Mia Nabila Oktavia Popi Qori Rudi Santi Teguh Ubaid Vina Wina Yanuar Zakfar	6 8 6 6 5 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8

Dengan melihat Tabel 3.2, kamu dapat menentukan dengan mudah nilai ulangan Matematika yang diperoleh Cindy, yaitu 4.

Jika ingin mengetahui berapa orang yang memperoleh nilai 8, kamu harus menyajikan data tersebut dengan mencatat banyak nilai tertentu (frekuensi) yang muncul, seperti diperlihatkan pada Tabel berikut.

Nilai	Frekuensi
2 3 4 5 6 7 8 9 10	1 1 2 6 6 5 6 2 1
Jumlah	30

Dengan demikian, kamu dapat menentukan banyak siswa yang mendapat nilai 8 dengan sekali pandang, yaitu 6 orang.

Contoh:
Diketahui data nilai ulangan Matematika 30 siswa Kelas IX A sebagai berikut.
6 , 8 , 7 , 6 , 6 , 5 , 7 , 8 , 8 , 5
9 , 9 , 8 , 6 , 7 , 7 , 7 , 6 , 8 , 7
10, 8 , 8 , 6 , 6 , 5 , 9 , 9 , 7 , 6
Jawab:



Diketahui data berat badan (dalam kg) 30 balita di sebuah kelurahan adalah sebagai berikut.
30 , 30 , 28 , 27 , 25 , 29 , 30 , 25 , 28 , 30
27 , 25 , 30 , 26 , 29 , 29 , 27 , 25 , 27 , 26
26 , 25 , 28 , 30 , 27 , 27 , 30 , 30 , 26 , 26
Sajikan data tersebut dalam bentuk tabel distribusi frekuensi.
Jawab:

Statistika sangat erat kaitannya dengan data. Data merupakan kumpulan datum, di mana datum merupakan fakta tunggal. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

Ibu guru meminta Ratna untuk mengukur berat badan lima siswa Kelas XI A secara acak. Hasil pengukuran berat badan kelima siswa tersebut adalah sebagai berikut.

Nama	Aliyah	Nabila	Rahma	Salsa	Zahrah
Berat (kg)	42	45	40	45	44

Bilangan 42 kg merupakan berat badan seorang siswa. Fakta tunggal ini dinamakan datum. Adapun hasil seluruh pengukuran terhadap lima orang siswa disebut data.
Berdasarkan data yang diperoleh diatas, Ratna menyimpulkan bahwa dari kelima siswa tersebut,
(i) siswa yang paling berat badannya adalah Nabilah,
(ii) siswa yang paling ringan badannya adalah Rahma, dan
(iii) berat badan Nabila dan SAlsa sama.

Pengertian Statistika, Populasi, dan Sampel

Ketika Ratna menarik kesimpulan di atas, sebenarnya ia telah menggunakan statistika. Contoh lain, misalnya Selama tiga minggu, seorang pedagang pakaian jadi mencatat jumlah pakaian yang terjual. Berdasarkan data tersebut diketahui bahwa penjualan pada minggu pertama sebanyak 100 kodi, minggu kedua sebanyak 105 kodi, dan minggu ketiga sebanyak 110 kodi. Pedagang tersebut memperkira kan penjualan pada minggu keempat sebanyak 115 kodi. Pedagang itu sebenarnya telah menggunakan statistika untuk menilai hasil pekerjaan di masa yang telah lewat dan membuat perkiraan hasil pekerjaan pada masa yang akan datang.

Lalu.... Apakah yang dimaksud dengan statistika?
Statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, perhitungan atau pengolahan data, dan penarikan kesimpulan berdasarkan data tersebut.
Kadang-kadang, kesimpulan diambil tidak berdasarkan keseluruhan data, tetapi hanya sebagian.
Misalkan, Pak Alan akan membeli 25 kg anggur. Sebelum membeli, ia cukup mengambil beberapa anggur secara acak dari setiap keranjang untuk dicicipi rasanya. Jika rasanya manis, Pak Alan akan menganggap bahwa anggur yang akan dibeli manis, kemudian segera membelinya. Anggur yang diambil Pak Alan untuk dicicipi merupakan sampel dari seluruh anggur yang ada dalam keranjang-keranjang itu, sedang kan seluruh anggur yang ada dalam keranjang-keranjang itu merupakan populasi.

Uraian tersebut meng gambarkan pengertian populasi dan sampel, yaitu sebagai berikut.

Jenis Data dan Pengumpulan Data

Menurut sifatnya, data dibagi menjadi dua golongan, yaitu sebagai berikut.

1. Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau bilangan dan nilainya bisa berubah-ubah. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu data cacahan dan data ukuran.
   
   • Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung. Misalnya, data jumlah anak dalam keluarga.
   • Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur. Misalnya, data tinggi badan siswa. Coba kamu cari lagi contoh data kontinu lainnya.
2. Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk angka atau bilangan dan menggambarkan keadaan objek yang dimaksud. Misalnya, data warna dan mutu barang.
   Dapatkah kamu memberikan contohnya?
   Cara untuk mengumpulkan data, antara lain wawancara, pengisian lembar pertanyaan (questionnaire), pengamatan (observation), dan mengolah atau menggunakan data yang sudah ada.
   

Seringkali data yang dikumpulkan berupa bilangan desimal. Sesuai ketelitian yang dikehendaki, bilangan tersebut dapat dibulatkan. Aturan pembulatannya sebagai berikut.

1. Jika angka yang mengalami pembulatan lebih dari atau sama dengan 5, angka yang di depannya ditambah satu.
2. Jika angka yang mengalami pembulatan kurang dari 5, angka tersebut dihilangkan. Misalnya, diketahui hasil pengukuran kadar garam air laut sebesar 0,36205. Angka tersebut jika dibulatkan sampai dengan empat angka di belakang koma menjadi 0,3621, sedangkan jika dibulatkan sampai dengan dua angka di belakang koma menjadi 0,36.

Pemeriksaan Data

Misalkan, seorang guru mencatat hasil ulangan Matematika seluruh siswanya. Sebelum mencari nilai rata-ratanya, ia perlu memeriksa untuk memastikan data yang diperolehnya tidak salah catat. Ia juga perlu memeriksa apakah ada nilai-nilai yang harus dibulatkan atau tidak. Kesalahan pencatatan dan pembulatan data ini akan menyebabkan nilai rata-rata ulangan Matematika di kelas tersebut tidak sesuai dengan data yang sebenarnya.

Penyajian Data Statistik

Ada dua cara penyajian data yang sering dilakukan, yaitu:
a. daftar atau tabel;
b. grafik atau diagram.

Barisan dan Deret Aritmatika

Seperti yang telah dijelaskan pada postingan sebelumnya, Barisan Aritmatika adalah suatu barisan yang suku selanjutnya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ( beda ) pada suku sebelumnya. Sedangkan Deret aritmatika adalah jumlah semua suku-suku pada barisan aritmatika.

Sifat Barisan dan Deret Aritmatika: memiliki beda/selisih yang tetap ( b = tetap )

Bentuk Umum Barisan dan Deret Aritmatika :

Barisan : a, (a+b), (a+2b),……, { a + (n–1)b}
Deret : a + (a+b) +(a+2b)+…+ (a+ (n–1)b)



⇔

Rumus suku ke-n barisan aritmatika

Rumus untuk menentukan nilai suku ke-n barisan aritmatika adalah sebagai berikut

dengan
a = U1 = Suku Pertama
b = beda = Un – U_n–1



⇔

Rumus Jumlah suku ke-n pada Deret aritmatika.

Rumus untuk menentukan jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika adalah sebagai berikut

dengan
Sn = Jumlah n suku pertama
a = U1 = Suku Pertama
b = beda = Un – U_n–1
Un = nilai suku ke-n

Contoh soal Barisan dan Deret Aritmatika :

1. Soal UN C3 2008

Rumus suku ke-n suatu barisan adalah Un = n² – 2n. Jumlah suku ke-10 dan ke-11 barisan itu adalah …

Pembahasan :
U₁₀ = 10² – 2×10 = 100 – 20 = 80
U₁₁ = 11² – 2×11 = 121 – 22 = 109

Jumlah suku ke-10 dan ke-11
= 80 + 109 = 189

Jadi jumlah suku ke-10 dan ke-11 adalah 189

2. Soal UN C3 2008

Banyak kursi pada barisan pertama di gedung bioskop adalah 20. Banyak kursi pada baris di belakangnya 4 buah lebih banyak dari kursi pada garis di depannya. Banyak kursi pada baris ke-15 adalah…..

⇒Pembahasan :
U₁ = 20
U₂ = 24

Rumus Un = a + ( n–1 ) b

Diketahui : a = 20, b =4
U₁₅ = 20 + (15–1) x 4
= 20 + 56
=76

Jadi Banyak kursi pada baris ke-15 adalah 76 buah

3. Soal Madas UMPTN 1993

Banyaknya bilangan di antara 101 dan 1000 yang habis dibagi 3 adalah…

⇒Pembahasan :
Bilangan antara 101 dan 1000 yang habis dibagi 3 adalah : 102,105,108,….,999
Berarti : a = 102 , b = 3 dan Un =999

Un = a + ( n–1 ) b
999 = 102 + (n–1) 3
(n–1) = (999–102)/3
(n–1) = 897/3
(n–1) = 299
n = 299+1
n = 300

Jadi Banyaknya bilangan di antara 101 dan 1000 yang habis dibagi 3 adalah 300

4. Soal Matdas UMPTN 1989

Tentang deret hitung 1,3,5,7,… diketahui bahwa jumlah n suku pertama adalah 225, maka suku ke-n adalah ….

⇒Pembahasan :
a = 1 dan b = 3–1 = 2, maka berlaku :

Sn = n/2 (2a + ( n–1 ) b)
225 = n/2 ( 2.1 +(n–1) 2 )
225 = n/2 ( 2 + 2n – 2)
225 = n/2 (2n)
225 = n²
n = 15

Jadi, Un = U₁₅ = a + ( n–1 ) b = 1 + ( 15–1 ) 2 = 29