1. Fungsi Eksponen

Bentuk aⁿ disebuat sebagai bentuk eksponensial atau perpangkatan, dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat. Sifat – sifat yang berlaku dalam bilangan berpangkat rasional diantaranya adalah sebagai berikut :




Perhatikan contoh soal berikut :
Hitunglah hasil perpangkatan (0,008)^–2
jawab :
(0,008)^–2 = (1/125)^–2
= (1/5³)^–2
= (5^–3)^–2
= 5⁶ = 15.625

2. Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah suatu persamaan yang pangkatnya (eksponen), bilangan pokoknya, atau bilangan pokok dan eksponennya memuat suatu variabel.

Bentuk-bentuk persamaan eksponen yang akan kita bahas yaitu

a. Bentuk persamaan a^f(x) = 1

Misal terdapat persamaan a^f(x) = 1 dengan a>0 dan a≠1, untuk menentukan himpunan penyelesaian bentuk persamaan tersebut gunakan sifat bahwa :

a^f(x) = 1 ⇔ f(x)=0

b. Bentuk persamaan a^f(x) = a^p

Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = a^p, dengan a>0 dan a≠1. Himpunan penyelesaian bentuk persamaan eksponen diatas ditentukan dengan cara menyamakan pangkat ruas kiri dengan ruas kanan.

a^f(x) = a^p ⇔ f(x) = p

c. Bentuk persamaan a^f(x) = a^g(x)

Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = a^g(x) dengan a>0 dan a≠1. Himpunan penyelesaian persamaan diatas dapat ditentukan dengan cara menyamakan persamaan pangkatnya. Jadi dapat kita katakan sebagai berikut :

a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x)

d. Bentuk Persamaan a^f(x) = b^f(x)

Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = b^f(x), dengan a≠b ;a,b >0 ; a,b ≠1. Himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut dapat ditentukan dengan cara menyamakan f(x) dengan nol. Jadi dapat disimpulkan sebagai berikut :

a^f(x) = b^f(x) ⇔ f(x) = 0

e. Bentuk persamaan a^f(x) = b^g(x)

Misalkan diberikan persamaan a^f(x) = b^g(x) dengan a≤b ; a,b >0 ; a,b ≠1, dan f(x) ≠ g(x). Himpunan penyelesaian untuk bentuk persamaan eksponen tersebut dengan melogaritmakan kedua ruas, yaitu :

log a^f(x) = log b^g(x)

f. Bentuk Persamaan A{a^f(x)}² + B{a^f(x)}+ C = 0

Untuk menentukan penyelesaian persamaan eksponen yang berbentuk persamaan kuadrat dapat dikerjakan dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna atau rumus abc.

g. Bntuk persamaan f(x)^g(x) = 1 ; f(x)≠g(x)

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen dengan bentuk tersebut, lakukanlah langkah-langkah berikut :
1). g(x)=0 karena ruas kanan nilainya 1 berarti g(x) harus sama dengan nol.
2). f(x)=1 karena jika f(x)=1 maka bilangan 1 dipangkatkan berapapun nilainya 1.
3). f(x)=-1, dengan syarat g(x) harus genap.

h. Bentuk persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x)

Untuk nilai g(x) ≠ h(x). Himpunan penyelesaian bentuk eksponen tersebut diperoleh dari empat kemungkinan berikut :
1). g(x)=h(x) karena bilangan pokok sudah sama maka pangkatnya harus sama.
2). f(x)=1 karena g9x) ≠ h(x) maka bilangan pokok harus bernilai 1 (satu) agar persamaan bernilai benar.
3). f(x)=-1, bewrakibat g(x) dan h(x) harus sama-sama bernilai genap atau sama-sama bernilai ganjil.
4). f(x)=0, dengan g(x) dan h(x) masing-masing bernilai positif dituliskan g(x)>0 atau h(x)>0.

i. Bnetuk persamaan g(x)^f(x) = h(x)^f(x)

persamaan diatas akan bernilai benar jika
a. f(x)=0 untuk g(x)≠0 dan h(x)≠0 ;
b. g(x)=h(x)

3. Fungsi Logaritma

Bentuk eksponen atau perpangkatan dapat kita tulis dalam bentuk logaritma. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut :

Jika ab = c dengan a > 0 dan a ≠ 1 maka alog c = b dalam hal ini a disebut basis atau pokok logaritma dan c merupakan bilangan yang dilogaritmakan. Logaritma memuliki sifat-sifat sebagai berikut :

sifat log

3.1 Bentuk umum dari fungsi logaritma yaitu Jika ay = x dengan a ≥0 dan a ≠ 1 maka y =alog x

mempunyai sifat-sifat :

semua x > 0 terdefinisi
jika x mendekati no maka nilai y besar sekali dan positif
untuk x=1 maka y=o
untuk x > 1 maka y negatif sehingga jika nilai x semakin besar maka nilai y semakin kecil.


3.2. Grafik Fungsi y =alog x untuk a >0

mempunyai sifat – sifat sebagai berikut :

untuk semua x > 0 terdefinisi
jika x mendekati no maka y kecil sekali dan negatif
untuk x=1 maka y=0
untuk x > 1 maka y positif sehingga jika x semakin besar maka y semakin besar.
Berikut ini gambar grafiknya :

grafik eksponen














Itulah penjelasan tentang Materi Lengkap Fungsi Eksponen dan Logaritma semoga dapat bermanfaat, dan jangan lupa baca juga materi yang lain seperti Operasi Hitung Pada Pecahan atau Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima.

Trik Mudah Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk Persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x) - Pada postingan sebelumnya kita telah mempelajari macam-macam bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1, bentuk a^f(x) = a^p, bentuk a^f(x) = a^g(x) dan bentuk a^f(x) = b^f(x).

Postingan kali ini masih seputar cara menyelesaikan Persamaan Eksponen. Sengaja saya bahas secara terpisah, agar adik-adik dapat lebih mudah memahami perbedaannya.
Jika kemarin adik-adik sudah memahami cara menyelesaikan persamaan eksponen f(x)^g(x) = 1 ; dengan f(x)≠g(x) . Kali ini kita akan mempelajari cara menyelesaikan persamaan eksponen yang berbentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x).
Bagaimana ya caranya???
Kok kelihatannya Tambah Rumit... Tambah Sulit... Bin Njelimet ya...??
Upssss..., Jangan khawatir adek-adek pasti bisa kok, yang penting adek-adek rajin mencoba dan latihan. Klo cuma baca dan melihat saja, ya pasti bakalan terasa susah. Percaya dehhh, kalian pasti BISA!!


Nahhhh... kita mulai saja ya. Simak baik-baik penjelasan berikut ini. Dannnn.... seperti biasa, jangan lupa bawa pensil dan kertas untuk mencoba setiap soal yang akan kakak bahas berikut. Karena dengan membaca dan melihat saja tidak akan membuat kalian jadi memahami materi ini.
Oke... SIMAK YA!!



Yang perlu diIngat!!!




Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen x^{6x – x2} = x^4x.

Penyelesaian:
     x^{6x – x2}    = x^4x

Kita analisa bentuk persamaan eksponennya terlebih dahulu. Dari persamaan diketahui bahwa:
f(x) = x
g(x) = 6x – x²
h(x) = 4x

PEMBAHASAN CONTOH 1
1.	g(x) = h(x)
	6x – x2 = 4x x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 0 dan x = 2	Untuk x = 0, pangkat di ruas kiri yaitu g(x) dan pangkat diruas kanan yaitu h(x) akan bernilai 0, sehingga x = 0 bukan penyelesaian
2.	f(x) = 1
	x = 1
3.	f(x) = –1	syarat g(x) dan h(x) harus sama-sama genap atau ganjil
	x = –1	Untuk x = –1, nilai g(x) = 6x – x2 = 6(–1) – (–1)2 = –7 (ganjil) dan h(x) = 4x = 4(–1) = –4 (genap). karena g(x) dan h(x) tidak sama-sama genap atau sama-sama ganjil maka x = –1 bukan penyelesaian
4.	f(x) = 0	syarat g(x)>0 dan h(x)>0
	x = 0	Untuk x = 0, nilai g(x) = 6x – x2 = 6(0) – (0)2 = 0, maka x = 0 bukan penyelesaian

Jadi penyelesaian dari persamaan x^{6x – x2}    = x^4x adalah x = 1 dan x = 2.

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen (x – 2)^{x2 + 3x} = (x – 2)^{2x + 6}.

Penyelesaian:
Kita analisa bentuk persamaan eksponennya terlebih dahulu.
Persamaan (x – 2)^{x2 + 3x} = (x – 2)^{2x + 6} merupakan persamaan eksponen bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x) dengan :
f(x) = x – 2
g(x) = x² + 3x
h(x) = 2x + 6

PEMBAHASAN CONTOH 2
1.	g(x) = h(x)
	x2 + 3x = 2x + 6 x2 + x – 6 = 0 (x + 3)(x – 2) = 0 x = – 3 dan x = 2
2.	f(x) = 1
	x – 2 = 1         x = 3
3.	f(x) = –1	syarat g(x) dan h(x) harus sama-sama genap atau ganjil
	x – 2 = –1        x = –1 + 2        x = 1	Untuk x = 1, nilai g(x) = x2 + 3x = (1)2 + 3(1) = 4 (genap) dan h(x) = 2x + 6 = 2(1) + 6 = 8 (genap). karena g(x) dan h(x) sama-sama genap maka x = 1 merupakan penyelesaian
4.	f(x) = 0	syarat g(x)>0 dan h(x)>0
	x – 2 = 0         x = 2	Untuk x = 2, nilai g(x) = x2 + 3x = (2)2 + 3(2) = 4 + 6 = 10 dan h(x) = 2x + 6 = 2(2) + 6 = 10, maka x = 2 merupakan penyelesaian

Jadi penyelesaian dari persamaan (x – 2)^{x2 + 3x} = (x – 2)^{2x + 6} adalah x = – 3, x = 1, x = 2 dan x = 3.

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen (x² + 3x – 4)^{x2 + 3x} = (x² + 3x – 4)^{2x + 6}.

Penyelesaian:

Untuk contoh 3, silahkan dicoba dulu ya...
Jika kesulitan silahkan isi komenter dibawah.
Terima kasih








⇔

Baca Juga :

Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^g(x)

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = b^f(x) - Pada postingan sebelumnya kita telah mempelajari macam-macam bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1, bentuk a^f(x) = a^p dan bentuk a^f(x) = a^g(x).
Jika kemarin adik-adik sudah memahami cara menyelesaikan persamaan eksponen a^f(x) = a^g(x), yaitu persamaan eksponen yang memiliki bilangan pokok yang sama namun pangkatnya berbeda. Lalu bagaimana ya jika dibalik?? persamaan eksponennya yang memiliki bilangan pokok yang berbeda namun pangkatnya sama (a^f(x) = b^f(x)).
Bagaimana ya caranya???
Kebayang tidak adek-adek??


Nahhhh... kita mulai saja ya. Simak baik-baik penjelasan berikut ini. Dannnn.... seperti biasa, jangan lupa bawa pensil dan kertas untuk mencoba setiap soal yang akan kakak bahas berikut. Karena dengan membaca dan melihat saja tidak akan membuat kalian jadi memahami materi ini.
Oke... SIMAK YA!!



Yang perlu diIngat!!!



Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan nilai x jika 3^{2x + 1} = 2^{2x + 1}.

Penyelesaian:
     3^{2x + 1} = 2^{2x + 1}
⇔ 2x + 1 = 0
⇔       2x = – 1
⇔         x = – 1/2
⇔         x = – 0,5

Contoh 2:

Tentukan nilai x jika 5^{3x – 6} = 9^{3x – 6}.

Penyelesaian:
        5^{3x – 6} = 9^{3x – 6}
⇔    3x – 6 = 0
⇔          3x = 6
⇔          3x = 6
⇔            x = 6/3
⇔            x = 2

Contoh 3:

Jika 2^{2x + 10} = 9^{x + 5} maka nilai x = .....

Penyelesaian:
       2^{2x + 10} = 9^{x + 5}
⇔   2^{2x + 10} = 9^{x + 5}
⇔   2^{2(x + 5)} = 9^{x + 5}
⇔       4^{x + 5} = 9^{x + 5}
⇔        x + 5 = 0
⇔               x = –5

Baca Juga :

Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p
Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^g(x)

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p - Pada postingan sebelumnya kita telah mempelajari macam-macam bentuk persamaan eksponen dan cara menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1. Kali ini kita akan membahas dengan lebih mendalam cara menyelasaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p pada berbagai macam soal, sehingga adik-adik dapat memahami bentuk persamaan eksponen ini.


Ingat!!!
Jika terdapat persamaan a^f(x) = a^p, dengan a>0 dan a≠1. Himpunan penyelesaian bentuk persamaan eksponen diatas ditentukan dengan cara menyamakan pangkat ruas kiri dengan ruas kanan.

a^f(x) = a^p ⇔ f(x) = p


Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan nilai x jika 2^x = 8.

Penyelesaian:
     2^x = 8
⇔ 2^x = 2³
⇔   x = 3

Contoh 2:

Tentukan nilai x jika 0,5^{x + 1} = 4.

Penyelesaian:
        0,5^{x + 1} = 4
⇔  (1/2)^{x + 1} = 2²
⇔  (2^–1)^{x + 1} = 2²
⇔       2^{–x – 1} = 2²
⇔       –x – 1 = 2
⇔               x = 2 – 1
⇔               x = 1

Contoh 3:

Jika 9^{2x – 3} = 27 maka nilai x = .....

Penyelesaian:
         9^{2x – 3} = 27
⇔ (3²)^{2x – 3} = 3³
⇔     3^{4x – 6} = 3³
⇔     4x – 6 = 3
⇔           4x = 3 + 6
⇔           4x = 9
⇔             x = 9/4
⇔             x = 2,25

Baca Juga :

Cara mudah menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1 - Seperti yang telah dibahas pada postingan sebelumnya, bahwa salah satu bentuk persamaan eksponen adalah a^f(x) = 1. Kali ini kita akan membahas dengan lebih mendalam cara menyelasaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1 pada berbagai macam soal, sehingga adik-adik dapat memahami bentuk persamaan eksponen ini.


Ingat!!!
Jika terdapat persamaan a^f(x) = 1 dengan a>0 dan a≠1, untuk menentukan himpunan penyelesaian bentuk persamaan tersebut gunakan sifat :

a^f(x) = 1 ⇔ f(x)=0


Kita mulai contoh soal dari yang paling mudah terlebih dahulu.

Contoh 1:

Tentukan nilai x jika 2^x = 1.

Penyelesaian:
  2^x = 1
⇔ x = 0

Contoh 2:

Tentukan nilai x jika 0,5^{x + 3} = 1.

Penyelesaian:
    0,5^{x + 3} = 1
⇔    x + 3 = 0
⇔          x = -3

Contoh 3:

Jika 3^{2x + 6} = 1 maka nilai x = .....

Penyelesaian:
   3^{2x + 6} = 1
⇔ 2x + 6 = 0
⇔       2x = –6
⇔         x = –6/3
⇔         x = –2

Contoh 4:

Jika 2^{x – 5} = 1 maka nilai x = .....

Penyelesaian:
    2^{x – 5} = 1
⇔ x – 5 = 0
⇔      x = 5

Contoh 5:

Tentukanlah peyelesaian dari persamaan eksponen 2^{x2 – 2x – 3} = 1 maka nilai x = .....

Penyelesaian:
    2^{x2 – 2x – 3} = 1
⇔   x² – 2x – 3   = 0
⇔ (x + 1)(x – 3) = 0
⇔ x + 1 = 0       x – 3 = 0
⇔       x = –1           x = 3

Baca Juga:

Cara mudah menyelasaikan Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p
Ringkasan Materi Fungsi Eksponen dan Logaritma

Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma dengan Bilangan Pokok a > 1

fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah dua fungsi yang saling invers. Untuk memahami sifat-sifat kedua fungsi tersebut, pada bab ini kita akan menggambar grafik kedua fungsi itu. Sekarang, coba gambar grafik fungsi f(x) = 2^x dan inversnya, yaitu g(x) = ²log x log x dalam satu sumbu koordinat.
Untuk memudahkan menggambar kedua grafik fungsi ini, terlebih dahulu buatlah tabel nilai-nilai x dan f(x) = 2^x

Setelah itu, gambarkan titik-titik tersebut pada koordinat Cartesius. Lalu hubungkan titik-titik tersebut dengan garis membentuk kurva mulus, sehingga diperoleh grafik f(x) = 2^x.

. Grafik yang kalian dapatkan ini, cerminkan terhadap garis y = x
sehingga kalian mendapatkan grafik fungsi inversnya, yaitu g(x) = ²log x

Dengan memperhatikan grafik fungsi f(x) = 2^x dan g(x) = ²log x yang masing-masing merupakan grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 2, kalian dapat mengetahui bahwa:

PEMBAHASAN 1
No.	Fungsi f(x) = 2x	Fungsi g(x) = 2log x
1.	Daerah asalnya {x | x ∈ R}	Daerah asalnya {x | x > 0, x ∈ R}
2.	Daerah hasilnya {y | y > 0, y ∈ R}	Daerah hasilnya {y | y ∈ R}
3.	Sumbu-x asimtot datar	Sumbu y asimtot tegak
4.	Grafik di atas sumbu-x	Grafik di sebelah kanan sumbu-y
5.	Memotong sumbu-y di titik (0, 1)	Memotong sumbu-x di titik (1, 0)
	Merupakan fungsi naik untuk setiap x	Merupakan fungsi naik untuk setiap x